Question

При каких целых b уравнение (bx - 8)(2x - b)=0 имеет ровно два различных целых решения?

Answer 1

два целых решения

1) bx₁=8    x₁=8/b    b=-8,-4,-2,-1,1,2,4,8  

2) 2x₂=b    x₂=b/2    b=......-8,-4,-2,0,2,4,8,....... (b=2k)

общие b=-8,-4,-2,2,4,8

проверяем для каждого общего b

b=-8    x₁=8/b=-1    x₂=b/2=-4

b=-4    x₁=8/b=-2    x₂=b/2=-2

b=-2    x₁=8/b=-4    x₂=b/2=-1

b=8    x₁=8/b=1    x₂=b/2=4

b=4    x₁=8/b=2    x₂=b/2=2

b=2    x₁=8/b=4    x₂=b/2=1

Ответ: b=-8,-2,2,8

Answer 2

Данное квадратное уравнение имеет два различных целых решения в том случае, если дискриминант этого уравнения равен нулю.

Дискриминант (обозначим его как D) квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac.

В нашем уравнении (bx - 8)(2x - b) = 0 у нас a = 1 (коэффициент при x^2 равен 1), b = -(b + 16) (коэффициент при x равен сумме коэффициентов bx и -8x), и c = -8b (свободный член).

Теперь, чтобы уравнение имело ровно два различных целых решения, необходимо и достаточно, чтобы D = b^2 - 4ac был равен нулю:

D = (-(b + 16))^2 - 4(1)(-8b) = (b + 16)^2 + 32b

Теперь приравняем D к нулю и решим уравнение:

(b + 16)^2 + 32b = 0

Раскроем скобки:

b^2 + 32b + 256 + 32b = 0

Приведем подобные члены:

b^2 + 64b + 256 = 0

Теперь попробуем решить это уравнение:

(b + 16)(b + 16) = 0

Таким образом, уравнение имеет ровно два различных целых решения, когда b = -16.