Question

С виду правой части f (x) и корням характеристического уравнения определить вид общего решения соответствующего неоднородного дифференциального уравнения. λ1=λ2=2, λ3=5, f(x)=3xe^(-3x).

Answer 1

Дифференциальное уравнение по данным: $y'''-9y''+24y'-20y=3xe^{-3x}$

Общее решение однородного уравнения $y'''-9y''+24y'-20y=0$

$\sf y_{o.o.}=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}+C_3e^{5x}$

Найдем частное решение. Рассмотрим функцию $f(x)=3xe^{-3x}$

$P_n(x)=3x;~~\Rightarrow~~~ n=1;~~~~ \alpha=-3$

Сравнивая α с корнями характеристического уравнения и, принимая во внимая, что n=1, частное решение будем искать в виде:

Уч.н. $=(Ax+B)e^{-3x}$

Найдем теперь производные первого, второго и третьего порядка

$y'=-3e^{-3x}(Ax+B)+Ae^{-3x}\\ y''=9e^{-3x}(Ax+B)-3Ae^{-3x}-3Ae^{-3x}\\ y'''=-27e^{-3x}(Ax+B)+9Ae^{-3x}+18Ae^{-3x}=-27e^{-3x}(Ax+B)+27Ae^{-3x}$

Подставляем в исходное уравнение, получим:

$-27(Ax+B)+27A-81(Ax+B)+54A-72(Ax+B)+54A-\\ -20(Ax+B)=3x\\ -27Ax-27B+135A-81Ax-81B-72Ax-72B-20Ax-20B=3x\\-200Ax+135A-200B=3x$

Приравнивая коэффициенты при степени x, получим

$\displaystyle\left \{ {{-200A=3} \atop {135A-200B=0}} \right. ~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{A=-\frac{3}{200}} \atop {B=-\frac{63}{8000}}} \right.$

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

Уо.н. = Уо.о. + Уч.н. = $C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}+C_3e^{5x}-e^{-3x}\bigg(\dfrac{3x}{200}+\dfrac{63}{8000}\bigg).$

Answer 2

Для решения неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, имеющего вид:

$\frac{d^2y}{dx^2} + a_1 \frac{dy}{dx} + a_0 y = f(x)$

где $a_1$ и $a_0$ - постоянные коэффициенты, а $f(x)$ - правая часть уравнения, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдите характеристическое уравнение. Для уравнения второго порядка это уравнение будет иметь следующий вид:

$\lambda^2 + a_1 \lambda + a_0 = 0$

где $\lambda$ - корни характеристического уравнения. В данном случае у нас есть три корня: $\lambda_1 = \lambda_2 = 2$ и $\lambda_3 = 5$.

2. Составьте общее решение соответствующего однородного уравнения. Общее решение однородного уравнения будет иметь следующий вид:

$y_h(x) = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 e^{\lambda_2 x} + c_3 e^{\lambda_3 x}$

где $c_1$, $c_2$ и $c_3$ - произвольные постоянные.

3. Найдите частное решение неоднородного уравнения. Частное решение можно предположить в виде функции, аналогичной правой части $f(x)$. В данном случае $f(x) = 3x e^{-3x}$, поэтому предположим частное решение в виде:

$y_p(x) = A x e^{-3x}$

где $A$ - неизвестная постоянная.

4. Найдите производные от $y_p(x)$ и подставьте их в исходное неоднородное уравнение, чтобы определить значение $A$.

$y_p'(x) = A e^{-3x} - 3A x e^{-3x}$ $y_p''(x) = -6A e^{-3x} + 9A x e^{-3x}$

Теперь подставим производные в уравнение:

$-6A e^{-3x} + 9A x e^{-3x} + 2(A e^{-3x} - 3A x e^{-3x}) + 5(A x e^{-3x}) = 3x e^{-3x}$

5. Соберите все части уравнения и приравняйте к правой части:

$(-6A + 2A + 5A) e^{-3x} + (9A - 6A) x e^{-3x} = 3x e^{-3x}$

$A e^{-3x} + 3A x e^{-3x} = 3x e^{-3x}$

6. Теперь найдите значение $A$:

$A = 3$

7. Подставьте найденное значение $A$ в частное решение $y_p(x)$:

$y_p(x) = 3x e^{-3x}$

Теперь общее решение неоднородного уравнения будет состоять из суммы общего решения однородного уравнения $y_h(x)$ и частного решения $y_p(x)$:

$y(x) = c_1 e^{2x} + c_2 e^{2x} + c_3 e^{5x} + 3x e^{-3x}$