Question

Для заданного неоднородного уравнения найти общее решение соответствующего однородного уравнения. Проверить, что указанная функция является частным решением неоднородного уравнения. y"+4y=2sin2x y=-x/2 cos2x

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Дано неоднородное уравнение: y"+4y=2sin2x, а также функция y=-x/2+cos2x.

Для того чтобы найти общее решение соответствующего однородного уравнения, мы должны найти общее решение уравнения y"+4y=0.

Для этого, сначала найдем характеристическое уравнение, подставив y=e^(mx) в уравнение и приравняв его к нулю:

m^2e^(mx) + 4e^(mx) = 0

e^(mx)(m^2 + 4) = 0

Так как e^(mx) не равно нулю, то получаем характеристическое уравнение: m^2 + 4 = 0.

Решая это уравнение, получаем два комплексных корня: m1 = 2i и m2 = -2i.

Таким образом, общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

y_h = c1e^(2ix) + c2e^(-2ix)

Теперь проверим, что указанная функция y=-x/2+cos2x является частным решением неоднородного уравнения.

Для этого подставим ее в неоднородное уравнение:

y" + 4y = (-x/2+cos2x)" + 4(-x/2+cos2x) = (-1/2 + 4cos2x) + 4(-x/2 + cos2x) = -x/2 + 4cos2x - 2x + 8cos2x = -3x/2 + 12cos2x

Таким образом, мы видим, что полученное выражение не равно 2sin2x, следовательно, указанная функция y=-x/2+cos2x не является частным решением неоднородного уравнения.

Общее решение неоднородного уравнения может быть найдено с использованием метода вариации постоянных или методом неопределенных коэффициентов.