Question

Найдите все значения а при которых при любых значениях параметра b уравнение |x-2|+b |2x+1|= a имеет хотя бы одно решение.

Answer 1

идея решения :

если а-одно из искомых значений , то при этом а уравнение должно иметь решение при всех  b , и при b = 1 , -1 , 2  и т. д. , то есть, оно должно быть общим для всех b , если при b = 1 уравнение имеет решение только при а ≥ 2,5 , то значения искомого параметра  параметра должны удовлетворять этому неравенству , тем самым мы сужаем множество возможных значений а

Answer 2

Для того чтобы уравнение |x - 2| + b |2x + 1| = a имело хотя бы одно решение для любых значений параметра b, необходимо и достаточно, чтобы модульная функция |x - 2| и |2x + 1| имели общую точку пересечения при любых значениях b.

1. Первая модульная функция |x - 2| имеет вершину в точке (2, 0) и при x < 2 принимает значения (2 - x), а при x ≥ 2 принимает значения (x - 2). Это представлено на графике:

   График функции |x - 2|:

   markdownCopy code
      |               *
   2 -|        *       
      |   *             
   1 -|*                
      |_________________
          -2   -1   0   1   2   3
   

2. Вторая модульная функция |2x + 1| имеет вершину в точке (-1/2, 0) и при x < -1/2 принимает значения (-(2x + 1)), а при x ≥ -1/2 принимает значения (2x + 1). Это представлено на графике:

   График функции |2x + 1|:

   markdownCopy code
      |*                
   2 -|   *             
      |        *        
   1 -|           *     
      |_________________
         -2   -1   0   1   2   3
   

3. Теперь, чтобы обе функции имели общую точку пересечения, их графики должны пересекаться где-то на оси x. Таким образом, для нахождения таких точек пересечения, мы должны приравнять выражения в модулях и решить уравнение:

   |x - 2| = |2x + 1|

4. Посмотрим на два случая: a) x ≥ 2: Тогда уравнение примет вид: x - 2 = 2x + 1 Решаем: x = -3

   b) x < 2: Тогда уравнение примет вид: 2 - x = -(2x + 1) Решаем: x = -3/5

5. Таким образом, уравнение |x - 2| + b |2x + 1| = a будет иметь хотя бы одно решение при всех значениях параметра b, если x принимает значения из интервала (-3/5, -3] или x ∈ (-3/5, -3].

Итак, ответ: значения параметра a, при которых уравнение имеет хотя бы одно решение для любых значений параметра b, это a ∈ R, где R представляет интервал (-3/5, -3].