Question

Доказать что в прямоугольном треугольнике катет больше половины гипотенузы

Answer 1

Смотри рисунок на фото.

Проведем медиану СМ. По свойству СМ=ВМ=АМ.

Получается АМ и СМ - половины гипотенузы.

В треугольнике АСМ видно, что АС<АМ, т. е. катет меньше половины гипотенузы, значит утверждение в условии неверно.

Ответ: условие некорректно.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, давайте обозначим стороны прямоугольного треугольника следующим образом:

Пусть а и b - катеты, а c - гипотенуза.

Условие, которое нам нужно доказать, звучит так: a > c/2.

Теперь, давайте воспользуемся тем, что данный треугольник прямоугольный, а значит, мы можем применить теорему Пифагора:

c^2 = a^2 + b^2

Теперь давайте рассмотрим неравенство a > c/2 и преобразуем его:

2a > c

Теперь возводим оба выражения в квадрат (замечание: мы можем это сделать, так как a и c являются положительными числами):

(2a)^2 > c^2

Упростим левую и правую части:

4a^2 > a^2 + b^2

Теперь заменим a^2 + b^2 на c^2 (по теореме Пифагора):

4a^2 > c^2

Итак, мы получили, что 4a^2 > c^2. Теперь, если обратить внимание, это просто другая форма теоремы Пифагора!

Таким образом, неравенство 4a^2 > c^2 верно только в том случае, если треугольник прямоугольный. А значит, если у нас есть прямоугольный треугольник, то a > c/2.