Question

Можно ли на плоскости провести 13 прямых так, чтобы они пересеклись ровно в тридцати одной точке (точка плоскости считается точкой пересечения прямых, если через нее проходят хотя бы две прямые)?

Answer 1

решение  

да, можно

прямые 1║2║3║4║5║6║7║8║9║10

прямая 11⊥1

прямые 5, 12, 13 пересекаются в точке 13

см. рисунок.

Answer 2

Да, на плоскости можно провести 13 прямых так, чтобы они пересеклись ровно в 31 точке.

Это можно сделать с помощью комбинации прямых, проходящих через одну общую точку и групп прямых, которые пересекаются в одной общей точке. Рассмотрим следующую схему:

1. Проведем 10 прямых, все проходящие через одну общую точку (назовем ее A). Теперь у нас есть 10 точек пересечения прямых.
2. Проведем еще две прямых, также проходящие через точку A, но при этом эти две прямых не должны пересекаться с предыдущими 10 прямыми.
3. Проведем последнюю прямую так, чтобы она пересекалась со всеми 12 предыдущими прямыми в одной общей точке (назовем ее B). Теперь у нас есть еще 12 точек пересечения.

Итак, у нас есть 10 + 12 = 22 точки пересечения. Теперь осталось добавить еще 9 точек пересечения. Для этого проведем еще 9 прямых таким образом, чтобы каждая из них пересекалась с двумя прямыми из группы (1) в одной общей точке. Это даст нам еще 9 точек пересечения.

Теперь у нас есть 22 + 9 = 31 точек пересечения, и каждая прямая пересекается с 31-1=30 другими прямыми, что соответствует условию задачи.