Question

Найти общее решение дифференциального уравнения: y’ + (4y)/x = -x

Answer 1

$y'+4\frac{y}{x}=-x\\y=uv;y'=u'v+v'u\\u'v+v'u+\frac{4}{x}uv=-x\\u'v+u(v'+\frac{4}{x}v)=-x\\\frac{dv}{dx}=-\frac{4v}{x}\\\frac{dv}{v}=-\frac{4dx}{x}\\ln|v|=-4ln|x|\\v=\frac{1}{x^4}\\\frac{du}{x^4dx}=-x\\du=-x^5dx\\u=-\frac{x^6}{6}+C\\y=-\frac{x^2}{6}+\frac{C}{x^4}$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения, можно воспользоваться методом вариации постоянной. Для этого предположим, что общее решение может быть записано в виде y(x) = y_h(x) + y_p(x), где y_h(x) - это общее решение однородного уравнения (то есть уравнения без правой части), а y_p(x) - это частное решение неоднородного уравнения (с правой частью).

1. Найдем решение однородного уравнения: Для однородного уравнения y’ + (4y)/x = 0 можно использовать метод разделения переменных и решить его следующим образом:

y’ = - (4y)/x dy/y = -4 dx/x

Интегрируя обе стороны уравнения, получим:

ln|y| = -4 ln|x| + C1 ln|y| = ln|x^(-4)| + C1 ln|y| = ln|C1/x^4|

Снимем натуральный логарифм с обеих сторон:

|y| = C1/x^4

Где C1 - произвольная постоянная.

2. Найдем частное решение неоднородного уравнения: y’ + (4y)/x = -x

Для частного решения предположим, что оно имеет вид y_p(x) = Ax + B, где A и B - некоторые константы, которые нужно найти.

Теперь найдем производную y_p'(x) и подставим её в исходное уравнение:

y_p'(x) = A

A - (4(Ax + B))/x = -x

Теперь сравним коэффициенты при одинаковых степенях x:

1. При x^0: -4B = 0 => B = 0
2. При x^1: A = -1 => A = -1

Таким образом, частное решение y_p(x) = -x.

3. Общее решение уравнения: Общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

y(x) = y_h(x) + y_p(x) y(x) = C1/x^4 - x

Где C1 - произвольная постоянная. Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.