Question

Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не является полным квадратом.

Answer 1

Рассмотрим любые 5 последовательных натуральных чисел, они имеют вид: n, n+1, n+2, n+3, n+4, где n любое натуральное число.

Их сумма квадратов равна:

n^2+(n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2+(n+4)^2=

=n^2+(n^2+2n+1)+(n^2+4n+4)+(n^2+6n+9)+(n^2+8n+16)=

=5n^2+20N+30.

Так как 5n^2+20N+30 нельзя представить в виде (an+b)^2, где a и b целые числа, то таким образом доказано, что:

не существует пяти последовательных натуральных чисел, сумма квадратов которых есть квадрат натурального числа.

Answer 2

Давайте докажем, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не является полным квадратом, используя метод математической индукции.

Пусть у нас есть пять последовательных натуральных чисел: n, n+1, n+2, n+3 и n+4.

1. Базовый шаг: Проверим, что утверждение верно для начального значения n = 1. Тогда сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел будет: 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55.

   Предположим, что сумма квадратов этих пяти чисел равна квадрату некоторого числа m^2, то есть 55 = m^2. Однако, это невозможно, так как 55 не является полным квадратом (т.е. нельзя представить в виде m^2 для натурального m). Таким образом, базовый шаг верен.

2. Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого значения n = k, т.е. сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел k^2 + (k+1)^2 + (k+2)^2 + (k+3)^2 + (k+4)^2 не является полным квадратом.

3. Докажем, что утверждение верно для n = k+1: Тогда сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел будет: (k+1)^2 + (k+2)^2 + (k+3)^2 + (k+4)^2 + (k+5)^2 = k^2 + 2k + 1 + k^2 + 4k + 4 + k^2 + 6k + 9 + k^2 + 8k + 16 + k^2 + 10k + 25 = 5k^2 + 30k + 55 = 5(k^2 + 6k + 11).

   Заметим, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел является произведением числа 5 и некоторого выражения в скобках k^2 + 6k + 11.

   Если предположить, что эта сумма является полным квадратом, то она должна быть равна квадрату некоторого числа m^2, где m - натуральное число.

   Теперь рассмотрим выражение в скобках k^2 + 6k + 11. Заметим, что оно представимо в виде (k+3)^2 + 2. То есть, у нас есть сумма квадрата некоторого натурального числа (k+3)^2 и числа 2.

   Теперь предположим, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел k^2 + (k+1)^2 + (k+2)^2 + (k+3)^2 + (k+4)^2 равна квадрату некоторого числа m^2. Тогда она может быть представлена в виде (k+3)^2 + 2 + m^2.

   Таким образом, мы получили представление суммы квадратов пяти последовательных натуральных чисел в виде суммы квадрата некоторого натурального числа (k+3)^2 и чисел 2 и m^2.

   Это противоречие, так как мы предположили, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел является полным квадратом, но теперь у нас есть разложение этой суммы в виде суммы квадрата и двух чисел. А по определению, полные квадраты нельгда не могут быть представлены в виде суммы двух полных квадратов.

   Таким образом, наше предположение о том, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел является полным квадратом, было ошибочным. Это означает, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не является полным квадратом.

Таким образом, мы доказали, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не является полным квадратом.