Question

Найти общее решение уравнения: y' = y·thx

Answer 1

Решение на фотографии.

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение имеет вид:

y' = y · tanh(x)

Для нахождения общего решения, мы будем использовать метод разделения переменных.

Шаг 1: Разделим уравнение на y:

dy/dx = tanh(x)

Шаг 2: Переместим dy на одну сторону уравнения, а tanh(x) на другую:

dy = tanh(x) dx

Шаг 3: Проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫(1/y) dy = ∫tanh(x) dx

Шаг 4: Проинтегрируем левую и правую части уравнения:

ln|y| = ∫tanh(x) dx

Шаг 5: Найдем интеграл ∫tanh(x) dx:

Для нахождения интеграла ∫tanh(x) dx можно сделать замену переменных. Пусть u = tanh(x), тогда du = sech^2(x) dx.

∫tanh(x) dx = ∫u du = (u^2)/2 + C, где C - постоянная интегрирования.

Шаг 6: Подставим обратно u = tanh(x) в выражение:

∫tanh(x) dx = (tanh^2(x))/2 + C

Шаг 7: Подставим найденный интеграл в исходное уравнение:

ln|y| = (tanh^2(x))/2 + C

Шаг 8: Используем свойство логарифма и уберем модуль:

y = ±exp((tanh^2(x))/2 + C)

Шаг 9: Объединим постоянную C и константу интегрирования ±exp(C) в одну новую константу K:

y = ±K * exp((tanh^2(x))/2)

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения задается функцией:

y = ±K * exp((tanh^2(x))/2)

где K - произвольная постоянная.