Question

Срочно!! Исследовать функцию y=x^3-6x^2+25 1. Найти область определения функции 2. Исследовать функцию на парность/непарность 3. Найти точки пересечения с координатными осями 4. Найти участки возрастания и убывания 5. Найти точки экстремума и экстремумы 6.Начертить график функции

Answer 1

ДАНО: Y = x³ - 6*x² + 25.

ИССЛЕДОВАНИЕ.

1. Область определения - X⇒R. Непрерывная разрывов нет.

Х∈(-∞;+∞).  Вертикальных асимптот - нет.

2. Проверка на парность.

Y(-x) = - x³ + 6*x² + 25 ≠ - Y(x) ≠ Y(x) - функция не парная и не непарная.

3. Пересечение с осью У:   Y(0) = 25

4. Пересечение с осью Х:  х1= - 1,79, х2 = 2,79, х3 = 5 - без комментариев.

5. Первая производная - поиск интервалов монотонности.

Y'(x) = 3*x² - 12*x = 3*x*(x - 4) = 0.

Корни: х1 = 0, х2 = 4.

6. Возрастает: Х∈(-∞;0)∪(4;+∞). Убывает: Х∈(0;4)

7. Локальные экстремумы.

Максимум - Y(0) = 25, Минимум - Y(4) = -7.

8. Вторая производная  -  поиск точки перегиба.

Y"(x) = 6*x - 12 = 6*(x-2) = 0.

Точка перегиба Х= 2,

9. График на рисунке в приложении.

Answer 2

Хорошо, давайте последовательно рассмотрим исследование функции y = x^3 - 6x^2 + 25.

1. Область определения функции: Область определения функции - это множество всех допустимых значений для переменной x. В данной функции нет никаких ограничений на x, поэтому она определена для любого значения x. Таким образом, область определения функции y = x^3 - 6x^2 + 25 является множеством всех действительных чисел: D = (-∞, +∞).

2. Парность/непарность функции: Функция y = x^3 - 6x^2 + 25 является нечетной функцией. Для проверки четности/нечетности функции, нужно заменить x на -x в исходной функции:

y(-x) = (-x)^3 - 6(-x)^2 + 25 y(-x) = -x^3 - 6x^2 + 25

Таким образом, полученная функция совпадает с исходной функцией y = x^3 - 6x^2 + 25, но имеет противоположный знак. Это означает, что график функции симметричен относительно начала координат, что характерно для нечетных функций.

3. Точки пересечения с координатными осями: Для нахождения точек пересечения с координатными осями, нужно приравнять y к нулю и решить уравнение:

x^3 - 6x^2 + 25 = 0

Это кубическое уравнение, которое может иметь три корня. Однако, здесь нет элементарных способов нахождения корней, поэтому давайте перейдем к следующему пункту исследования.

4. Участки возрастания и убывания: Чтобы найти участки возрастания и убывания функции, нужно найти ее производную и определить ее знаки.

y = x^3 - 6x^2 + 25

dy/dx = 3x^2 - 12x

Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

3x^2 - 12x = 0 3x(x - 4) = 0

x = 0 или x = 4

Теперь составим таблицу знаков производной:

x	-∞	0	4	+∞
dy/dx	-	0	+	+

Таким образом, функция возрастает на интервалах (-∞, 0) и (4, +∞), и убывает на интервале (0, 4).

5. Точки экстремума и экстремумы: Точки экстремума соответствуют значениям x, где производная равна нулю. Мы уже нашли эти значения ранее: x = 0 и x = 4. Теперь определим характер экстремума, используя вторую производную.

d^2y/dx^2 = 6x - 12

Подставим найденные значения x = 0 и x = 4 во вторую производную:

d^2y/dx^2 (x=0) = 6 * 0 - 12 = -12 (отрицательное значение) d^2y/dx^2 (x=4) = 6 * 4 - 12 = 12 (положительное значение)

Когда вторая производная отрицательна, это указывает на максимум, а когда положительна - на минимум. Таким образом, у нас есть точки экстремума: минимум в точке (0, 25) и максимум в точке (4, 9).

6. График функции: Теперь нарисуем график функции y = x^3 - 6x^2 + 25, используя все полученные результаты:

График функции будет иметь следующие особенности:

• Область определения: (-∞, +∞)
• Симметрия относительно начала координат (не четная функция).
• Точки пересечения с координатными осями: (0, 25), (4, 0)
• Участки возрастания: (-∞, 0), (4, +∞)
• Участки убывания: (0, 4)
• Точка минимума: (4, 9)
• Точка максимума: (0, 25)

К сожалению, я не могу нарисовать график напрямую, но вы можете использовать графические редакторы или онлайн графопостроители, в которых вам нужно ввести уравнение функции, чтобы увидеть ее график.