Question

Может ли степень числа 13 оканчиваться на 123. докажите

Answer 1

1)правильно писать так: "может ли 13 в какой-либо степени оканчиваться на 123"

два последних числа

13¹;13⁵;13⁹;13¹³;13¹⁷....

13;93;73;53;33; и по циклу

13 в степени (4n+1) заканчивается на 3, а десятки нечетные, и так по циклу в 5 шагов.

Остальные степени 13 даже на 3 не заканчиваются, поэтому нет не может. Ни на 23, ни на 123 не заканчивается.

2)Если же вопрос именно такой как написано:

"может ли степень числа 13 оканчиваться на 123."

13¹²³ - число 13 в степени 123 и степень заканчивается на 123.

Answer 2

Да, степень числа 13 может оканчиваться на 123. Давайте докажем это:

Мы ищем такое натуральное число n, что 13^n оканчивается на 123.

По теореме Эйлера (малая теорема Ферма), если a и n взаимно просты (то есть не имеют общих делителей, кроме 1), то a^(φ(n)) ≡ 1 (mod n), где φ(n) - функция Эйлера, определяющая количество чисел, взаимно простых с n и меньших его.

Для числа 13 ищем φ(1000), так как 1000 оканчивается на 000, а значит 13 и 1000 взаимно просты. Так как 1000 = 2^3 * 5^3, то φ(1000) = 1000 * (1 - 1/2) * (1 - 1/5) = 1000 * 1/2 * 4/5 = 400.

Теперь нам нужно найти такое n, чтобы 13^n ≡ 1 (mod 1000). Это эквивалентно тому, что 13^n имеет остаток 1 при делении на 1000.

Давайте посмотрим на значения степеней числа 13 по модулю 1000:

13^1 ≡ 13 (mod 1000) 13^2 ≡ 169 (mod 1000) 13^3 ≡ 197 (mod 1000) 13^4 ≡ 41 (mod 1000) 13^5 ≡ 533 (mod 1000) ...

Мы замечаем, что значения степеней числа 13 повторяются через каждые 20 значений (это называется периодическим повторением). Таким образом, 13^20 имеет такой же остаток при делении на 1000, как и 13^1.

Теперь проверим, какой остаток у 13^20 при делении на 1000:

13^20 ≡ (13^10)^2 ≡ 1^2 ≡ 1 (mod 1000)

Таким образом, мы доказали, что степень числа 13, равная 20, оканчивается на 123, так как 13^20 ≡ 1 (mod 1000).

Итак, ответ: степень числа 13, равная 20 (13^20), оканчивается на 123.