Question

Найдите значение параметра b, при котором один корень уравнения x^2+(2b-1)x +b^2+2=0 вдвое больше другого. Мне нужно решить ДО ВОСКРЕСЕНЬЯ. Помогите пожалуйста :)

Answer 1

Пусть один корень будет x₀, тогда второй будет 2x₀. По теореме Виета:

$\begin{equation*}\begin{cases}3x_{0}=1-2b\\2x_{0}^2=b^2+2 \end{cases}\end{equation*}\Rightarrow \begin{equation*}\begin{cases}x_{0}=\frac{1-2b}{3}\\2*\frac{(1-2b)^2}{9}=b^2+2 \end{cases}\end{equation*}$

Решим отдельно второе уравнение:

$2(1-4b+4b^2)=9b^2+18\\2-8b+8b^2=9b^2+18\\b^2+8b+16=0\\(b+4)^2=0\\b+4=0\\b=-4$

Ответ: -4

Answer 2

Давайте решим уравнение и найдем значение параметра b.

У нас есть квадратное уравнение вида: ax^2 + bx + c = 0.

Из условия задачи, один корень уравнения вдвое больше другого. Обозначим корни за x1 и x2. Тогда у нас должно быть:

x1 = 2 * x2

Теперь, вспомним формулы для нахождения корней квадратного уравнения:

1. x1, x2 = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

Для начала, найдем дискриминант (D) уравнения, который равен b^2 - 4ac:

D = (2b - 1)^2 - 4 * (b^2 + 2) = 4b^2 - 4b + 1 - 4b^2 - 8 = -8b - 7

Теперь, у нас есть условие, что один корень вдвое больше другого:

x1 = 2x2

Теперь запишем формулы для корней:

x1 = (-b + √D) / 2

x2 = (-b - √D) / 2

Подставим условие, что x1 = 2x2:

(-b + √D) / 2 = 2 * ((-b - √D) / 2)

Упростим:

-b + √D = -2b - 2√D

Теперь выразим b через D:

√D - 2√D = -2b + b

-√D = -b

Теперь возведем обе части в квадрат:

D = b^2

Теперь найдем b:

b^2 = -8b - 7

b^2 + 8b + 7 = 0

Теперь решим квадратное уравнение:

Для этого, можно использовать квадратное уравнение: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

В нашем случае, a = 1, b = 8, c = 7:

b = (-8 ± √(8^2 - 417)) / 2

b = (-8 ± √(64 - 28)) / 2

b = (-8 ± √36) / 2

b = (-8 ± 6) / 2

Теперь найдем два возможных значения для b:

1. b = (-8 + 6) / 2 = -1
2. b = (-8 - 6) / 2 = -7

Таким образом, уравнение имеет два возможных значения параметра b: -1 и -7.

Проверим оба значения, подставив их в исходное уравнение:

1. При b = -1:

x^2 + (2*(-1) - 1)x + (-1)^2 + 2 = 0

x^2 - 3x + 3 = 0

Дискриминант D = (-3)^2 - 4 * 1 * 3 = 9 - 12 = -3 (отрицательный, значит, корни будут комплексными)

2. При b = -7:

x^2 + (2*(-7) - 1)x + (-7)^2 + 2 = 0

x^2 - 15x + 53 = 0

Дискриминант D = (-15)^2 - 4 * 1 * 53 = 225 - 212 = 13 (положительный, значит, корни будут действительными)

Таким образом, при b = -7 один корень уравнения будет вдвое больше другого. Ответ: b = -7.