Question

Найти производную у= cos³ 4x*arcctg√x

Answer 1

Решение на фотографит

Answer 2

Для нахождения производной функции у по переменной x, используем правило производной произведения (производной композиции функций).

У нас дана функция у = cos³(4x) * arcctg(√x).

1. Найдем производную первого множителя: cos³(4x). Для этого применим формулу производной функции, возводимой в степень, а затем умноженной на степень самой функции (цепное правило): (dy/dx) = 3 * cos²(4x) * (-sin(4x)).

2. Теперь найдем производную второго множителя: arcctg(√x). Для этого воспользуемся формулой производной обратной тригонометрической функции: (dy/dx) = -1 / (1 + (√x)²) * (1 / (2√x)).

3. Теперь умножим результаты из пунктов 1 и 2, так как производная произведения равна произведению производных: (dy/dx) = 3 * cos²(4x) * (-sin(4x)) * (-1 / (1 + (√x)²) * (1 / (2√x)).

4. Упростим выражение, учитывая, что cos²(4x) = (cos(4x))² и применим тригонометрические тождества (sin(2θ) = 2sinθcosθ): (dy/dx) = 3 * (cos(4x))² * sin(4x) * (1 / (2√x * (1 + x))).

Таким образом, производная функции у равна 3 * (cos(4x))² * sin(4x) * (1 / (2√x * (1 + x))).