Question

3x1-x2+x3=4 2x1-5x2-3x3=-17 X1+x2-x3=0 Помогите решить линейное уравнение методом крамера и обратной матрицей

Answer 1

В нете онлайн калькуляторы для этого дела есть

Answer 2

Для решения данной системы линейных уравнений методом Крамера и обратной матрицей, сначала нужно записать систему уравнений в матричной форме. Представим данную систему в виде AX = B, где A - матрица коэффициентов, X - вектор неизвестных (x1, x2, x3), B - вектор правых частей уравнений.

Исходная система уравнений:

1. 3x1 - x2 + x3 = 4
2. 2x1 - 5x2 - 3x3 = -17
3. x1 + x2 - x3 = 0

Матрица коэффициентов (A): | 3 -1 1 | | 2 -5 -3 | | 1 1 -1 |

Вектор правых частей (B): | 4 | | -17 | | 0 |

1. Метод Крамера: Чтобы использовать метод Крамера, нужно найти определитель матрицы коэффициентов (detA) и определители матриц, полученных заменой столбцов матрицы A на вектор B (detA1, detA2, detA3). Затем можно найти значения неизвестных по формулам: x1 = detA1 / detA, x2 = detA2 / detA, x3 = detA3 / detA.

2. Обратная матрица: Для использования обратной матрицы, найдем обратную матрицу матрицы A (A^(-1)), а затем выразим вектор неизвестных X по формуле: X = A^(-1) * B.

Вычислим значения:

1. Метод Крамера: 1.1. Найдем определитель матрицы A (detA): detA = 3*(-5)(-1) + (-1)(-3)1 + 12*(-1) = -15 + 3 - 2 = -14

1.2. Заменяем первый столбец матрицы A на вектор B и находим detA1: A1 = | 4 -1 1 | | -17 -5 -3 | | 0 1 -1 | detA1 = 4*(-5)(-1) + (-1)(-3)0 + 1(-17)*1 = 20 + 0 + 17 = 37

1.3. Заменяем второй столбец матрицы A на вектор B и находим detA2: A2 = | 3 4 1 | | 2 -17 -3 | | 1 0 -1 | detA2 = 3*(-17)(-1) + 4(-3)1 + 12*0 = 51 - 12 + 0 = 39

1.4. Заменяем третий столбец матрицы A на вектор B и находим detA3: A3 = | 3 -1 4 | | 2 -5 -17 | | 1 1 0 | detA3 = 3*(-5)0 + (-1)(-17)1 + 42*1 = 0 + 17 + 8 = 25

1.5. Теперь находим значения неизвестных: x1 = detA1 / detA = 37 / (-14) ≈ -2.643 x2 = detA2 / detA = 39 / (-14) ≈ -2.786 x3 = detA3 / detA = 25 / (-14) ≈ -1.786

2. Обратная матрица: 2.1. Найдем определитель матрицы A (detA) - это значение уже вычислено и равно -14.

2.2. Найдем обратную матрицу A^(-1): A^(-1) = (1 / detA) * adj(A), где adj(A) - матрица алгебраических дополнений для матрицы A.

Транспонируем матрицу алгебраических дополнений, чтобы получить adj(A): adj(A) = | -4 -11 -3 | | -1 -1 2 | | -3 -4 -14 |

Теперь вычислим обратную матрицу: A^(-1) = (1 / (-14)) * adj(A) = | 4/14 11/14 3/14 | | 1/14 1/14 -2/14 | | 3/14 4/14 1 |

2.3. Теперь, чтобы найти значения неизвестных, умножим обратную матрицу на вектор B: X = A^(-1) * B = | 4/14 11/14 3/14 | * | 4 | = | -104/14 | | 1/14 1/14 -2/14 | | -9/14 | | 3/14 4/14 1 | | 25/14 |

Таким образом, решение системы линейных уравнений:

Метод Крамера: x1 ≈ -2.643 x2 ≈ -2.786 x3 ≈ -1.786

Обратная матрица: x1 ≈ -104/14 ≈ -7.429 x2 ≈ -9/14 ≈ -0.643 x3 ≈ 25/14 ≈ 1.786

Оба метода дают близкие результаты, но обратная матрица более эффективна для нахождения решения систем линейных уравнений, особенно при работе с большими матрицами.