Question

Решить тригонометрическое уравнение cosx-2sin^2x=4

Answer 1

cosx-2(sinx)^2=4

cosx-2(1-(cosx)^2)-4=0

2(cosx)^2+cosx-6=0

cosx=t, tE[-1;1], тогда:

2t^2+t-6=0

D=1^2-4*2*(-6)=49

t1=(-1+sqrtD)/4=(-1+7)/4=1.5

t2=(-1-sqrtD)/4=(-1-7)/4=-2

Оба корня не принадлежат промежутку tE[-1;1], -> уравнение не имеет действительных корней.

Answer 2

Для решения тригонометрического уравнения cos(x) - 2sin^2(x) = 4, давайте преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества, чтобы свести его к более простому виду.

Заметим, что sin^2(x) = 1 - cos^2(x) (тригонометрическое тождество), поэтому уравнение можно переписать следующим образом:

cos(x) - 2(1 - cos^2(x)) = 4

Раскроем скобки:

cos(x) - 2 + 2cos^2(x) = 4

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

2cos^2(x) + cos(x) - 6 = 0

Получили квадратное уравнение относительно cos(x). Решим его с помощью стандартной процедуры решения квадратных уравнений.

По формуле дискриминанта для квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0, дискриминант D вычисляется как D = b^2 - 4ac.

В нашем случае a = 2, b = 1, c = -6:

D = (1)^2 - 4 * 2 * (-6) = 1 + 48 = 49

Теперь найдем корни уравнения:

cos(x) = (-b ± √D) / 2a

cos(x) = (-1 ± √49) / (2 * 2)

cos(x) = (-1 ± 7) / 4

Таким образом, получаем два значения для cos(x):

1. cos(x) = (7 - 1) / 4 = 3/2 (это значение невозможно, так как косинус не может быть больше 1)

2. cos(x) = (-7 - 1) / 4 = -2 (это значение также невозможно, так как косинус не может быть меньше -1)

Уравнение не имеет решений в действительных числах. Таким образом, данное тригонометрическое уравнение не имеет действительных решений.