Question

Найдите все значения n (n принадлежит N), при которых значение функции f(n)=(n^3-3n+4)/(n-1) является: а) целым числомб) натуральным числом

Answer 1

Остаток от деления (n^3-3n+4) на (n-1)  равен 2. Он делится на -2, -1, 1, 2.

Уравнения для нахождения n

n-1=-2

n-1=-1

n-1=1

n-1=2

то есть

а) при -1 и при 0

б) при 2 и при 3

Answer 2

Для того чтобы найти значения n, при которых функция f(n) является целым числом, мы должны решить уравнение:

f(n) = (n^3 - 3n + 4) / (n - 1) = k,

где k - целое число.

а) Значение функции f(n) является целым числом:

(n^3 - 3n + 4) / (n - 1) = k.

Умножим обе стороны на (n - 1), чтобы избавиться от знаменателя:

n^3 - 3n + 4 = k * (n - 1).

Раскроем скобки:

n^3 - 3n + 4 = kn - k.

Теперь приведем все слагаемые в левой части уравнения в одну группу:

n^3 - kn - 3n + 4 - k = 0.

Чтобы найти значения n, при которых уравнение имеет целочисленные корни, можем воспользоваться методом подбора целых значений для n. Заметим, что если n = 1, то знаменатель равен нулю, что делает функцию неопределенной. Поэтому исключим n = 1 из рассмотрения.

Попробуем подставить некоторые значения n и проверим, при каких из них уравнение выполняется:

• При n = 2: 2^3 - k * 2 - 3 * 2 + 4 - k = 0 8 - 2k - 6 + 4 - k = 0 2 - 3k = 0 k = 2/3 (не является целым числом)

• При n = 3: 3^3 - k * 3 - 3 * 3 + 4 - k = 0 27 - 3k - 9 + 4 - k = 0 22 - 4k = 0 k = 22/4 (не является целым числом)

• При n = 4: 4^3 - k * 4 - 3 * 4 + 4 - k = 0 64 - 4k - 12 + 4 - k = 0 56 - 5k = 0 k = 56/5 (не является целым числом)

• При n = 5: 5^3 - k * 5 - 3 * 5 + 4 - k = 0 125 - 5k - 15 + 4 - k = 0 114 - 6k = 0 k = 114/6 = 19 (является целым числом)

Таким образом, значение функции f(n) будет являться целым числом только при n = 5.

б) Значение функции f(n) является натуральным числом:

Для того чтобы значение функции f(n) было натуральным числом, необходимо, чтобы числитель (n^3 - 3n + 4) был делителем знаменателя (n - 1).

n^3 - 3n + 4 должно делиться на (n - 1) без остатка:

(n^3 - 3n + 4) % (n - 1) = 0.

Мы уже знаем, что n = 5 является одним из таких значений. Проверим, есть ли еще значения n:

• При n = 2: (2^3 - 3 * 2 + 4) % (2 - 1) = (8 - 6 + 4) % 1 = 6 % 1 = 0 (удовлетворяет условию)

• При n = 3: (3^3 - 3 * 3 + 4) % (3 - 1) = (27 - 9 + 4) % 2 = 22 % 2 = 0 (удовлетворяет условию)

• При n = 4: (4^3 - 3 * 4 + 4) % (4 - 1) = (64 - 12 + 4) % 3 = 56 % 3 = 2 (не удовлетворяет условию)

Таким образом, функция f(n) будет принимать натуральные значения при n = 2 и n = 3.

Итак, ответы:

а) Значение функции f(n) является целым числом при n = 5. б) Значение функции f(n) является натуральным числом при n = 2 и n = 3.