Question

даны вершины треугольника AВС А(-7; 2), В(5; 11), С(3; -3) . Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС в общем виде и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты СD и ее длину; 5) уравнение окружно-сти, для которой высота СD есть диаметр:

Answer 1

АЛГОРИТМ решения.

1. Длина стороны АВ - по теореме Пифагора

L(AB)² = (Ax-Bx)²+(Ay-By)² = 12²+9²=225²

L(AB) = √225 = 15 - ОТВЕТ

2. Уравнение стороны АВ - y = k*x+b.

k = (Ay-By)/(Ax-Bx) = 3/4 -  наклон

b = Аy -k*Ax = 7 1/4 - сдвиг

АВ = 3/4*х + 7 1/4 - уравнение АВ - ОТВЕТ

АС = - 1/2*х - 1 1/2 - уравнение АС - ОТВЕТ

3. Угол А по формуле - в приложении.

k1 = - 1/2, k2 - 3/4, k2-k1 = - 1 1/4

tgA  = - 2

A = 1.1 - рад = 63,43 град- ОТВЕТ

4. Уравнение высоты CD - y= - 4/3 + 1

Длина высоты CD =  √(6²+8²) = √100 = 10

5, Радиус окружности - половина CD - R = 5.

Координаты центра -  F(0;1)

Уравнение окружности

x² + (y-1)² = 25

Answer 2

Давайте решим поставленные задачи по порядку:

1. Длина стороны АВ: Для нахождения длины стороны АВ воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат:

Длина стороны АВ = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

Где (x₁, y₁) и (x₂, y₂) - координаты точек A и B соответственно.

Для данного треугольника:

A(-7, 2) и B(5, 11)

Длина стороны АВ = √((5 - (-7))² + (11 - 2)²) = √(12² + 9²) = √(144 + 81) = √225 = 15

Ответ: Длина стороны АВ равна 15.

2. Уравнения сторон АВ и АС в общем виде и их угловые коэффициенты: Уравнение прямой в общем виде имеет вид: y = mx + b, где m - угловой коэффициент, а b - свободный член.

a) Сторона АВ: Найдем угловой коэффициент прямой AB:

m_AB = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (11 - 2) / (5 - (-7)) = 9 / 12 = 3 / 4

Теперь найдем уравнение прямой AB, заменив одну из точек (например, A):

y - 2 = (3/4)(x + 7)

Упростим уравнение:

y = (3/4)x + 21/4

Ответ: Уравнение стороны АВ: y = (3/4)x + 21/4, угловой коэффициент m_AB = 3/4.

b) Сторона АС: Найдем угловой коэффициент прямой AC:

m_AC = (y₃ - y₁) / (x₃ - x₁) = (-3 - 2) / (3 - (-7)) = (-5) / 10 = -1 / 2

Теперь найдем уравнение прямой AC, заменив одну из точек (например, A):

y - 2 = (-1/2)(x + 7)

Упростим уравнение:

y = (-1/2)x - 3/2

Ответ: Уравнение стороны АС: y = (-1/2)x - 3/2, угловой коэффициент m_AC = -1/2.

3. Внутренний угол А в радианах: Для нахождения угла А в радианах можно воспользоваться тригонометрическими функциями. Угол А расположен против стороны АС.

Используем формулу косинусов: cos(A) = (b² + c² - a²) / (2 * b * c)

где a, b, c - длины сторон треугольника.

Для угла А: a = BC (сторона BC) b = AC (сторона AC) c = AB (сторона AB)

a = √((x₃ - x₂)² + (y₃ - y₂)²) = √((3 - 5)² + (-3 - 11)²) = √((-2)² + (-14)²) = √(4 + 196) = √200 ≈ 14.14 b = √((x₃ - x₁)² + (y₃ - y₁)²) = √((3 - (-7))² + (-3 - 2)²) = √((10)² + (-5)²) = √(100 + 25) = √125 ≈ 11.18 c = AB = 15 (уже найдено ранее)

Теперь подставим значения в формулу косинусов:

cos(A) = (11.18² + 14.14² - 15²) / (2 * 11.18 * 14.14) cos(A) = (125 + 200 - 225) / (2 * 11.18 * 14.14) cos(A) = 100 / 314.92 A ≈ arccos(0.3178) A ≈ 1.25 радиан (округлено до двух знаков после запятой)

Ответ: Внутренний угол А равен примерно 1.25 радиан.

4. Уравнение высоты CD и ее длина: Высота треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с противолежащей стороной и перпендикулярный к этой стороне.

а) Уравнение высоты CD: Найдем уравнение прямой, проходящей через точку C и перпендикулярной стороне AB (т.е., высоте). Угловой коэффициент этой прямой будет обратным и противоположным к угловому коэффициенту стороны AB (так как они перпендикулярны).

m_CD = -1 / m_AB = -1 / (3/4) = -4/3

Теперь найдем уравнение прямой CD, зная точку C(3, -3):

y + 3 = (-4/3)(x - 3)

Упростим уравнение:

y = (-4/3)x + 4

Ответ: Уравнение высоты CD: y =