Question

Даны вершины треугольника AВС А(-2; 2), В(10; -7), С(8; 7) Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты СD и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой высота СD есть диаметр.

Answer 1

1. Длина стороны АВ.
АВ=√(2-(-7))²+(10-(-2))² = √(81+144)=√225= 15 -ОТВЕТ
2.  Уравнения прямых АВ и АС.
 Уравнение прямой Y=kX+b.
Уравнение прямой АВ
k =dY/dX = - 9/12 = -3/4
b = Ay - k*Ax = 2 -(-3/4)*(-2) = 0.5
Окончательно уравнение прямой  Y(AB) = -3/4*X + 0.5 - ОТВЕТ
Уравнение прямой АС
k = (7-2)/(8- (-2) = 1/2
b = Cy- k*cx = 7 -1/2*8=  3 
окончательно - уравнение прямой Y(АC) = X/2 +3 - ОТВЕТ
3. Угол А - вычисляется через углы наклона прямых по формуле.
$tg \alpha = \frac{ k_{2}- k_{1} }{1+ k_{2}* k_{1} } = \frac{ \frac{1}{2}+ \frac{3}{4} }{1+ \frac{1}{2}* \frac{-3}{4} }=2$
Зная тангенс угла находим его величину (по таблицам)
Если tg α = 2, то сам угол α = arctg 2 = 1.1071 ~ 1.11 рад ~ 63.4° - ОТВЕТ
4. Уравнение высоты CD и её длину.
Высота CD - перпендикуляр к прямой АВ и наклон по формуле
k = - 1/k(AB) = - 1 /(-3/4) = 4/3.
Сдвиг В по точке С(8;7).
b = Cy - k*Cx = 7 - 4/3*8 = - 3 2/3
Окончательно уравнение высоты CD - Y(CD) = 4/3*X - 3 2/3 - ОТВЕТ
Дополнительно находим точку пересечения D решая систему уравнений из параметрических уравнений прямых AB и CD.
4*Y+3*X = 2 - уравнение AB
3*Y - 4*X = -11 - уравнение СD.
Решаем быстро методом Крамера - det D = -25, detY= 25, detX= 50.
Dx = 2    Dy= - 1.
Длина высоты CD - по теореме Пифагора.
CD = √(8² + 6²)= √100 = 10 - длина высоты - диаметр окружности - ОТВЕТ
5. Уравнение окружности с центром O на высоте CD.
Центр окружности - середина отрезка AD -
Ox = (Cx+Dx)/2 = (8+2)/2 = 5
Oy = *Cy+Dy)/2) = (7+(-1))/2 = 3.
Уравнение окружности со смещенным центром в т. О(5;3) и радиусом R=5.
(x-5)² + (y-3)² = 25 - ОТВЕТ

Answer 2

1) Длина стороны AB:

Для вычисления длины стороны AB воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2),

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек A и B соответственно.

В данном случае, координаты точки A равны (-2, 2), а координаты точки B равны (10, -7).

Подставляя значения в формулу, получаем:

dAB = sqrt((10 - (-2))^2 + (-7 - 2)^2) = sqrt(12^2 + (-9)^2) = sqrt(144 + 81) = sqrt(225) = 15.

Таким образом, длина стороны AB равна 15.

2) Уравнения сторон AB и AC и их угловые коэффициенты:

Уравнение прямой в декартовой системе координат имеет вид y = mx + b, где m - угловой коэффициент прямой, а b - свободный член.

# Уравнение стороны AB:

Для нахождения уравнения стороны AB, необходимо найти угловой коэффициент mAB и свободный член bAB.

Угловой коэффициент mAB можно найти по формуле:

mAB = (y2 - y1) / (x2 - x1),

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек A и B соответственно.

В данном случае, координаты точки A равны (-2, 2), а координаты точки B равны (10, -7).

Подставляя значения в формулу, получаем:

mAB = (-7 - 2) / (10 - (-2)) = (-9) / 12 = -3/4.

Теперь, зная угловой коэффициент mAB и координаты точки A, можем найти свободный член bAB, подставляя значения в уравнение прямой:

2 = (-3/4)(-2) + bAB.

Решая данное уравнение, получаем:

bAB = 2 - (3/4)(-2) = 2 + 3/2 = 7/2.

Таким образом, уравнение стороны AB имеет вид:

y = (-3/4)x + 7/2.

# Уравнение стороны AC:

Для нахождения уравнения стороны AC, необходимо найти угловой коэффициент mAC и свободный член bAC.

Угловой коэффициент mAC можно найти по формуле:

mAC = (y2 - y1) / (x2 - x1),

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек A и C соответственно.

В данном случае, координаты точки A равны (-2, 2), а координаты точки C равны (8, 7).

Подставляя значения в формулу, получаем:

mAC = (7 - 2) / (8 - (-2)) = 5 / 10 = 1/2.

Теперь, зная угловой коэффициент mAC и координаты точки A, можем найти свободный член bAC, подставляя значения в уравнение прямой:

2 = (1/2)(-2) + bAC.

Решая данное уравнение, получаем:

bAC = 2 - (1/2)(-2) = 2 + 1 = 3.

Таким образом, уравнение стороны AC имеет вид:

y = (1/2)x + 3.

3) Внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01:

Для нахождения внутреннего угла А треугольника ABC, воспользуемся формулой для вычисления угла между векторами:

cos(θ) = (AB · AC) / (|AB| |AC|),

где AB и AC - векторы, соответствующие сторонам AB и AC соответственно, а |AB| и |AC| - их длины.

Длины сторон AB и AC мы уже нашли в предыдущих пунктах: |AB| = 15 и |AC| = sqrt((8 - (-2))^2 + (7 - 2)^2) = sqrt(100 + 25) = sqrt(125) = 5sqrt(5).

Теперь найдем скалярное произведение AB и AC:

AB · AC = (x2 - x1)(x3 - x1) + (y2 - y1)(y3 - y1),

где (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) - координаты точек A, B и C соответственно.

Подставляя значения, получаем:

AB · AC = (-2 - 10)(8 - (-2)) + (2 - (-7))(7 - 2) = (-12)(10) + (9)(5) = -120 + 45 = -75.

Теперь можем вычислить cos(θ):

cos(θ) = (-75) / (15 * 5sqrt(5)) = -1 / (sqrt(5)).

Находим угол θ:

θ = arccos(-1 / (sqrt(5))).

Вычисляя данное выражение, получаем:

θ ≈ 2.8198 радиан (с точностью до 0,01).

Таким образом, внутренний угол А треугольника ABC равен приблизительно 2,82 радиан.

4) Уравнение высоты CD и ее длина:

Высота треугольника - это отрезок, проведенный из вершины треугольника к противоположной стороне и перпендикулярный ей.

Для нахождения уравнения высоты CD и ее длины, воспользуемся следующими шагами:

1. Найдем уравнение прямой AB (уже найдено в предыдущем пункте): y = (-3/4)x + 7/2.

2. Найдем уравнение прямой, перпендикулярной AB. Для этого заменим угловой коэффициент mAB на обратное значение, с обратным знаком. Так как mAB = -3/4, то угловой коэффициент перпендикулярной прямой будет равен 4/3:

y = (4/3)x + bCD.

3. Найдем свободный член bCD, подставив координаты точки C (8, 7) в уравнение прямой:

7 = (4/3)(8) + bCD.

Решаем уравнение и находим:

bCD = 7 - (4/3)(8) = 7 - 32/3 = 7 - 10 2/3 = 4 1/3.

Таким образом, уравнение высоты CD имеет вид:

y = (4/3)x + 4 1/3.

4.