Question

Докажите что при любом натуральном значении n выражение 7^n*2^3n-3^2n кратно 47

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Упростим данное выражение:  

7ⁿ · 2³ⁿ - 3²ⁿ =

= 7ⁿ · (2³)ⁿ - (3²)ⁿ =

= 7ⁿ · 8ⁿ - 9ⁿ =

= (7 · 8)ⁿ - 9ⁿ =

= 56ⁿ - 9ⁿ

Для полученного выражения (56ⁿ - 9ⁿ) применим формулу сокращённого умножения для n-ой степени:

aⁿ - bⁿ = (a - b)((aⁿ⁻¹+aⁿ⁻² b+aⁿ⁻³b²+ ...+ a²bⁿ⁻³+a bⁿ⁻²+ bⁿ⁻¹)

Разложим (56ⁿ - 9ⁿ) на множители:

   56ⁿ - 9ⁿ =

= (56-9)(56ⁿ⁻¹+56ⁿ⁻²·9+56ⁿ⁻³·9²+...+56²·9ⁿ⁻³+56·9ⁿ⁻²+9ⁿ⁻¹) =

= 47 · (56ⁿ⁻¹+56ⁿ⁻²*9+56ⁿ⁻³*9²+...+56²*9ⁿ⁻³+56*9ⁿ⁻²+9ⁿ⁻¹).

Один из сомножителей делится на 47, значит и все произведение делится на 47, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай (n=1). При n=1, выражение примет следующий вид: 7^1 * 2^(31) - 3^(21) = 7*8 - 9 = 56 - 9 = 47. Мы видим, что выражение равно 47, что делится на 47 без остатка.

Шаг 2: Предположение индукции. Предположим, что при некотором натуральном k выражение 7^k * 2^(3k) - 3^(2k) делится на 47 без остатка, то есть это кратно 47: 7^k * 2^(3k) - 3^(2k) = 47 * m, где m - некоторое целое число.

Шаг 3: Шаг индукции. Докажем, что при n=k+1 выражение также делится на 47 без остатка: 7^(k+1) * 2^(3*(k+1)) - 3^(2*(k+1)) = 7^k * 7 * 2^(3k+3) - 3^(2k+2).

Теперь используем предположение индукции: 7^k * 7 * 2^(3k+3) - 3^(2k+2) = (47 * m) * 7 * 2^3 * 2^(3k) - (47 * m) * 3^2 * 3^(2k).

Теперь упростим: (47 * m) * 7 * 2^3 * 2^(3k) - (47 * m) * 3^2 * 3^(2k) = 47 * m * 7 * 8 * 2^(3k) - 47 * m * 9 * 3^(2k).

Теперь вынесем общий множитель 47 * m за скобки: 47 * m * 7 * 8 * 2^(3k) - 47 * m * 9 * 3^(2k) = 47 * m * (7 * 8 * 2^(3k) - 9 * 3^(2k)).

Теперь заметим, что скобка (7 * 8 * 2^(3k) - 9 * 3^(2k)) это исходное выражение при n=k, которое, согласно предположению индукции, делится на 47 без остатка: (7 * 8 * 2^(3k) - 9 * 3^(2k)) = 47 * m (по предположению индукции).

Таким образом, имеем: 47 * m * (7 * 8 * 2^(3k) - 9 * 3^(2k)) = 47 * m * (47 * m).

Таким образом, выражение 7^(k+1) * 2^(3*(k+1)) - 3^(2*(k+1)) делится на 47 без остатка.

Шаг 4: Заключение. Из шага индукции следует, что утверждение верно для n=k+1, предположение индукции верно для n=1, а значит, утверждение верно для любого натурального n.

Таким образом, мы доказали, что при любом натуральном значении n выражение 7^n * 2^(3n) - 3^(2n) кратно 47.