Question

Дослідити на екстремум y=16x(x-1)2

Answer 1

$y = 16 {(x - 1)}^{2}$
$\frac{d16 {(x - 1)}^{2} }{dx} = 32(x - 1) = 0 \\ x = 1$

Answer 2

Для того щоб дослідити функцію на екстремум, спочатку знайдемо похідну функції та розглянемо її точки перетину з віссю OX, а також точки, в яких похідна дорівнює нулю. Ці точки можуть бути потенційними точками екстремуму.

1. Знайдемо похідну функції y по x: y = 16x(x - 1)^2 y' = d/dx(16x(x - 1)^2)

Застосуємо правило диференціювання добутку: y' = 16 * (d/dx(x)) * (x - 1)^2 + 16x * d/dx((x - 1)^2)

Застосуємо правило диференціювання степені: y' = 16 * (1) * (x - 1)^2 + 16x * 2(x - 1)

Спростимо: y' = 16(x - 1)^2 + 32x(x - 1)

2. Знайдемо точки перетину з віссю OX, тобто ті значення x, при яких y дорівнює нулю: 16(x - 1)^2 + 32x(x - 1) = 0

Запишемо це у вигляді квадратного рівняння і розв'яжемо його: 16(x - 1)^2 + 32x(x - 1) = 0 16(x - 1)(x - 1 + 2x) = 0 16(x - 1)(3x - 1) = 0

Отримаємо два значення x: x1 = 1 x2 = 1/3

3. Знайдемо значення y для цих точок: Для x = 1: y = 16(1)(1 - 1)^2 = 0

Для x = 1/3: y = 16(1/3)(1/3 - 1)^2 = 16(1/3)(-2/3)^2 = 16(1/3)(4/9) = 64/27

Тепер ми маємо дві точки, в яких похідна дорівнює нулю: (x1, y1) = (1, 0) (x2, y2) = (1/3, 64/27)

4. Визначимо тип екстремуму в цих точках за допомогою другої похідної.

Знайдемо другу похідну функції y по x: y' = 16(x - 1)^2 + 32x(x - 1) y'' = d/dx(16(x - 1)^2 + 32x(x - 1))

Проведемо необхідні обчислення: y'' = d/dx(16(x - 1)^2) + d/dx(32x(x - 1)) y'' = 32(x - 1) + 32(x - 1) + 32x y'' = 64(x - 1) + 32x y'' = 64x - 64 + 32x y'' = 96x - 64

Тепер підставимо значення x1 та x2 для знаходження типів екстремумів:

Для x = 1: y''(1) = 96(1) - 64 = 32 (позитивне значення, отже, це мінімум)

Для x = 1/3: y''(1/3) = 96(1/3) - 64 = -32 (негативне значення, отже, це максимум)

Отже, функція має локальний максимум у точці (1/3, 64/27) та локальний мінімум у точці (1, 0).