Question

Найти наибольшую площадь полной поверхности цилиндра вписанного в сферу радиуса

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Пусть радиус вписанного цилиндра равен х, а его высота равна 2у. Тогда его боковая поверхность равна 2*пи*х*у. Кроме того, по теореме Пифагора х^2 + у^2 = r^2. Согласно известному соотношению между средним квадратичным и средним геометрическим двух чисел значение х*у будет максимально, если х = у. Тогда х = у = rV2/2, и 2*пи*х*у = 2*пи * rV2/2 * rV2/2 = пи*r^2.

Answer 2

Чтобы найти наибольшую площадь полной поверхности цилиндра, который вписан в сферу радиуса R, нужно сначала понять, какие размеры имеет такой цилиндр. Полный цилиндр состоит из двух круговых оснований и боковой поверхности.

Давайте обозначим радиус цилиндра как r и высоту цилиндра как h.

Из условия вписанности цилиндра в сферу известно, что диаметр сферы равен диаметру цилиндра, а значит, 2r = D, где D - диаметр сферы.

Также, радиус сферы R связан с радиусом цилиндра r и высотой h следующим образом: R^2 = r^2 + h^2

Нам нужно найти максимальную площадь полной поверхности цилиндра, которая равна сумме площадей двух круговых оснований и боковой поверхности:

S_total = 2 * π * r^2 + 2 * π * r * h

Теперь давайте выразим h из уравнения связи между R и r: h^2 = R^2 - r^2 h = √(R^2 - r^2)

Теперь можем переписать площадь поверхности через одну переменную r:

S_total = 2 * π * r^2 + 2 * π * r * √(R^2 - r^2)

Теперь, чтобы найти максимальную площадь, нужно производную S_total по r приравнять к нулю:

d(S_total)/dr = 0

Производная может быть сложной, но мы можем воспользоваться компьютером или калькулятором для нахождения значения r при данном условии. Ответом на задачу будет радиус r и высота h цилиндра при этом радиусе, которые максимизируют площадь полной поверхности цилиндра, вписанного в сферу радиуса R.