Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2-4,y=x+2.

Answer 1

Решение во вложении......

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя заданными кривыми, необходимо найти точки их пересечения и затем вычислить определенный интеграл между этими точками.

Первым шагом является нахождение точек пересечения кривых. Это происходит, когда уравнения кривых равны друг другу:

y = x^2 - 4 y = x + 2

Приравниваем выражения для y:

x^2 - 4 = x + 2

Теперь приведем уравнение квадратичной кривой в стандартную форму:

x^2 - x - 6 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение:

(x - 3)(x + 2) = 0

Отсюда получаем две точки пересечения: x = 3 и x = -2.

Теперь можно найти соответствующие значения y:

Для x = 3: y = 3^2 - 4 = 9 - 4 = 5

Для x = -2: y = (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0

Таким образом, точки пересечения кривых: (3, 5) и (-2, 0).

Теперь, чтобы найти площадь фигуры между этими двумя кривыми, вычислим определенный интеграл от одной кривой до другой:

Площадь = ∫[a, b] (верхняя кривая - нижняя кривая) dx

где a и b - это значения x точек пересечения, то есть a = -2, b = 3.

Площадь = ∫[-2, 3] ((x + 2) - (x^2 - 4)) dx = ∫[-2, 3] (x + 2 - x^2 + 4) dx = ∫[-2, 3] (-x^2 + x + 6) dx

Теперь проинтегрируем это выражение:

∫(-x^2 + x + 6) dx = [-(x^3)/3 + (x^2)/2 + 6x] | от -2 до 3 = [-(3^3)/3 + (3^2)/2 + 63] - [(-(-2)^3)/3 + ((-2)^2)/2 + 6(-2)] = [-27/3 + 9/2 + 18] - [8/3 + 2 - 12] = [-9 + 9 + 18] - [8/3 - 2] = 18 - 8/3 = 18 - 2(2/3) = 18 - 4/3 = 54/3 - 4/3 = 50/3 ≈ 16.67

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 - 4 и y = x + 2, составляет примерно 16.67 квадратных единиц.