Question

Одну и ту же операцию выполняют рабочие 3, 4 и 5 разрядов. При этом рабочие, имеющие 5 разряд, допускают всего 2 % брака, 4 – 3 %, 3 – 5 %. При проверке деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что ее изготовил рабочий 3 разряда, если из 10 человек, выполняющих данную операцию, двое имеют 5 разряд, 5 – 4-го и остальные имеют 3 разряд?

Answer 1

Ответ Замятина - правильно и даже с избытком.  РАСЧЕТ сведен в таблицы. Таблицы в приложении. Расчет выполнен как в обычных дробях - более точный, так и в десятичных дробях - более удобный.

ДАНО

1) Состав бригады в человеках: N(i) = {2,5,x} -всего -Sn =10

2) Квалификация: брак в % - q2i = {2,3,5}

НАЙТИ: Кто изготовил БРАК.

ДУМАЕМ:

1. Надо взять ЛЮБУЮ деталь и она  окажется БРАКОВАННОЙ.

2. Найти вероятность это БРАКОДЕЛА.

РЕШЕНИЕ

1) 10 - 2 - 5 = 3 чел. - N3 - третьего разряда.

Вероятность выбора любой детали из партии зависит от количества рабочих.

2) р11 = 2/10 = 0.2, p12 = 0.5, p13 = 0.3

Вероятность брака - q2i - дана.

Вероятность любой И бракованной равна произведению вероятностей каждого события.

По таблице - вероятность брака у 5 разр. Q1 = p11*q21 = 0.2*0.02 = 0.004 = 1/250 и далее: Q2=0.015, Q3=0.015

Всего брака среди случайных деталей:  Sq = 0.034

И по формуле Байеса находим кто изготовил брак.

Qi/Sq = 0.015/0.034 = 0.441 (15/34) у двух рабочих одинакова.

ОТВЕТ: Или 4 разр. или 3 разр - равновероятно.

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся формулой условной вероятности. Пусть событие A - деталь изготовлена рабочим 3 разряда, а событие B - деталь оказалась бракованной.

Мы хотим найти вероятность P(A|B) - то есть вероятность того, что деталь была изготовлена рабочим 3 разряда, при условии, что она бракованная.

Из условия задачи у нас есть следующие вероятности: P(B|5) = 0.02 (вероятность брака для рабочего 5 разряда) P(B|4) = 0.03 (вероятность брака для рабочего 4 разряда) P(B|3) = 0.05 (вероятность брака для рабочего 3 разряда)

Также нам дано, что из 10 человек, выполняющих операцию, двое (2) рабочих имеют 5 разряд, пять (5) рабочих - 4 разряда и остальные (10 - 2 - 5 = 3) - 3 разряда.

Пусть P(5), P(4) и P(3) - вероятности выбрать рабочего соответствующего разряда из общего количества рабочих.

P(5) = 2/10 = 0.2 P(4) = 5/10 = 0.5 P(3) = 3/10 = 0.3

Теперь мы можем применить формулу условной вероятности:

P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)

где: P(B|A) - вероятность брака при условии, что деталь изготовлена рабочим 3 разряда (P(B|3) = 0.05) P(A) - вероятность того, что деталь была изготовлена рабочим 3 разряда (P(3) = 0.3) P(B) - общая вероятность брака (включая всех рабочих разрядов)

P(B) = P(B|5) * P(5) + P(B|4) * P(4) + P(B|3) * P(3) P(B) = 0.02 * 0.2 + 0.03 * 0.5 + 0.05 * 0.3 P(B) = 0.004 + 0.015 + 0.015 P(B) = 0.034

Теперь можем найти P(A|B):

P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B) P(A|B) = (0.05 * 0.3) / 0.034 P(A|B) = 0.015 / 0.034 P(A|B) ≈ 0.44118

Таким образом, вероятность того, что бракованная деталь была изготовлена рабочим 3 разряда, составляет примерно 44.12%.