Question

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 164. Найдите стороны треугольника ABC

Answer 1

Ответ:

АВ=136,6 ВС=273,2  АС=246.99

Пошаговое объяснение:

Пусть AL - медиана, а ВК - биссектриса, а т.Н - их точка пересечения.

Рассмотрим треугольник ABL, в нём биссектриса является высотой(пересекаются под прямым углом по условию), следовательно это равнобедренный треугольник. Следовательно, AB=BC=LC. По основному сво-ву  биссектрисы треугольника составим следующую пропорцию: AK/KC=AB/BC, следовательно 2*AK=КС, а АС= 3*КС. (т.к. АВ=2*ВС - по условию). Отсюда АН=НL=164/2=82(т.к. в равнобедренном треугольнике высота=бис=медиане)

После, проведём через вершину В прямую, параллельную АС. Она пересечётся с продолжением АL. Пусть точка пересечения будет Д. Отсюда имеем ВД=АС.

Рассмотрим треугольники АHK и BHД. Они подобны ( по трём углам, угол BHД=AHK=90, а угол HAK= углу BДH(как накрест лежащие)).

Распишем отношения сторон: КН/ВН=АК/ВД=1/3. Следовательно НК=164*1/3=164/3 (это примерно 54,666)

Следовательно ВН=164*2/3=328/3 (это примерно 109,333). Отсюда АВ^2=ВН^2+АН^2, следовательно АВ=136,6, отсюда ВС=2*136,6=273,2

АК^2=HK^2+AH^2, отсюда AК= 82.33. АС=3*82.33=246.99.

(но на ОГЭ советую считать с корнями и не округлять, как это делал я)

Answer 2

Давайте обозначим стороны треугольника ABC: AB = c, BC = a и CA = b. Затем воспользуемся данными из условия задачи.

1. По определению биссектрисы в треугольнике, биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные длинам других двух сторон. Таким образом, получаем:

   AE/EC = AB/BC AE/(a - AE) = c/a AE = (a * AB) / (c + a)

2. Также из условия известно, что AD (медиана) равна 164, значит:

   AD = (BC / 2) = 164 BC = 328

3. Теперь, у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (AE и a). Подставим значение BC:

   AE = (a * AB) / (c + a) 164 = (a * c) / (c + a)

4. После этого решим уравнение относительно a:

   164(c + a) = ac 164c + 164a = ac ac - 164a = 164c a(c - 164) = 164c a = (164c) / (c - 164)

5. Теперь, когда у нас есть выражение для a, можем найти стороны b и c, используя уравнение AE = (a * AB) / (c + a):

   AE = (a * AB) / (c + a) 164 = [(164c) / (c - 164)] * AB / (c + [(164c) / (c - 164)]) 164(c - 164) = AB(c + 164c) = AB(165c) AB = (164(c - 164)) / (165c)

6. Теперь, чтобы найти b, воспользуемся медианой:

   AD^2 = (b^2 + c^2) / 4 164^2 = (b^2 + 328^2) / 4 4 * 164^2 = b^2 + 328^2 b^2 = 4 * 164^2 - 328^2 b = √(4 * 164^2 - 328^2)

Таким образом, мы получили выражения для сторон треугольника:

AB = (164(c - 164)) / (165c) BC = 328 CA = √(4 * 164^2 - 328^2)

Вычислите числовые значения, зная, что c - это одна из сторон треугольника, например, можно взять c = 164 (поскольку длина биссектрисы и медианы одинаковая и равна 164, мы можем предположить, что одна из сторон треугольника также равна 164). После этого вычислите остальные стороны по формулам, и вы найдете числовые значения сторон треугольника ABC.