Question

СРОЧНО! ДАЮ 30 баллов! На стороне АС треугольника АВС взята точка D так, что АD:DC=1:2. Докажите, что у треугольников АDB и CDB есть по равной медиане.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Пусть AM и DN – медианы треугольников ADB и CDB соответственно. Отрезок MN – средняя линия треугольника DBC , поэтому MN = ?CD = AD и MN || AD , значит, четырёхугольник AMND – параллелограмм. Следовательно, AM=DN , что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства, что у треугольников ADB и CDB есть по равной медиане, нам нужно показать, что медианы, проведенные к сторонам AB и BC треугольника ABC из точки D, имеют одинаковые длины.

Пусть точка M1 - середина стороны AB, а точка M2 - середина стороны BC.

Мы знаем, что медиана, проведенная к стороне треугольника, делит ее на две равные части. Таким образом, чтобы доказать, что медианы AM1 и CM2 равны, нам нужно доказать, что AM1 = CM2.

Рассмотрим теперь треугольник ABD.

Поскольку AD:DC = 1:2, и точка M1 - середина стороны AB, то AM1 делит сторону BD в отношении 1:2 (поскольку точка D делит BC в таком же отношении).

Теперь рассмотрим треугольник CDB.

Поскольку AD:DC = 1:2, и точка M2 - середина стороны BC, то CM2 делит сторону BD в отношении 2:1 (поскольку точка D делит AB в таком же отношении).

Теперь давайте сравним AM1 и CM2:

AM1 = BD/3 (так как точка M1 делит сторону AB в отношении 1:2) CM2 = BD/3 (так как точка M2 делит сторону BC в отношении 2:1)

Мы видим, что AM1 = CM2, значит, медианы AM1 и CM2 треугольников ADB и CDB имеют одинаковую длину.

Таким образом, мы доказали, что у треугольников ADB и CDB есть по равной медиане.