Question

Зная , что tga +ctga = 5/2 .Найти tg2 a + ctg 2 a ( 2 это квадрат) .

Answer 1

Ответ:

4,25

Пошаговое объяснение:

Возведем все выражение в квадрат, получим tg²α+2tgα*ctgα+ctg²α=25\4

tgα*ctgα=1

tg²α+ctg²α=25\4-2=6,25-2=4,25

Answer 2

Давайте вначале решим уравнение tga + ctga = 5/2.

Обратимся к известным тригонометрическим тождествам:

1. tg(a) = sin(a) / cos(a)
2. ctg(a) = cos(a) / sin(a)

Теперь заменим tg(a) и ctg(a) в уравнении на их эквиваленты: sin(a) / cos(a) + cos(a) / sin(a) = 5/2

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим всё на sin(a) * cos(a):

sin^2(a) + cos^2(a) = 5/2 * sin(a) * cos(a)

Так как sin^2(a) + cos^2(a) = 1 (это известное тригонометрическое тождество), то уравнение примет вид:

1 = 5/2 * sin(a) * cos(a)

Теперь давайте найдем tg^2(a) + ctg^2(a). Воспользуемся определением тангенса и котангенса:

1. tg^2(a) = sin^2(a) / cos^2(a)
2. ctg^2(a) = cos^2(a) / sin^2(a)

Теперь сложим tg^2(a) и ctg^2(a):

tg^2(a) + ctg^2(a) = sin^2(a)/cos^2(a) + cos^2(a)/sin^2(a)

Нам уже известно, что sin^2(a) + cos^2(a) = 1. Подставим это значение:

tg^2(a) + ctg^2(a) = 1/cos^2(a) + 1/sin^2(a)

Теперь воспользуемся изначальным уравнением tga + ctga = 5/2, чтобы выразить sin(a) и cos(a):

sin(a)/cos(a) + cos(a)/sin(a) = 5/2

Умножим всё на sin(a) * cos(a):

sin^2(a) + cos^2(a) = 5/2 * sin(a) * cos(a)

Так как sin^2(a) + cos^2(a) = 1, то:

1 = 5/2 * sin(a) * cos(a)

Теперь найдем tg^2(a) + ctg^2(a):

tg^2(a) + ctg^2(a) = 1/cos^2(a) + 1/sin^2(a)

Так как 1 = 5/2 * sin(a) * cos(a), то:

tg^2(a) + ctg^2(a) = 1/cos^2(a) + 1/sin^2(a) = 1/(5/2 * sin(a) * cos(a))^2 + 1/sin^2(a)

Теперь заменим sin^2(a) / cos^2(a) на tg^2(a):

tg^2(a) + ctg^2(a) = tg^2(a) + 1/sin^2(a)

Нам уже известно, что tg(a) = sin(a) / cos(a), поэтому:

tg^2(a) + ctg^2(a) = tg^2(a) + 1/tg^2(a)

Теперь вернемся к исходному уравнению tga + ctga = 5/2:

sin(a)/cos(a) + cos(a)/sin(a) = 5/2

Умножим обе части на sin(a) * cos(a):

sin^2(a) + cos^2(a) = 5/2 * sin(a) * cos(a)

Теперь заменим sin^2(a) на (1 - cos^2(a)):

(1 - cos^2(a)) + cos^2(a) = 5/2 * sin(a) * cos(a)

1 - cos^2(a) + cos^2(a) = 5/2 * sin(a) * cos(a)

1 = 5/2 * sin(a) * cos(a)

Теперь выразим sin(a) * cos(a) через tg(a):

1 = 5/2 * tg(a)

tg(a) = 1 / (5/2) = 2/5

Теперь найдем tg^2(a) + ctg^2(a):

tg^2(a) + ctg^2(a) = tg^2(a) + 1/tg^2(a) = (2/5)^2 + 1/(2/5)^2

tg^2(a) + ctg^2(a) = 4/25 + 25/4

tg^2(a) + ctg^2(a) = (4 + 625)/100

tg^2(a) + ctg^2(a) = 629/100

Таким образом, tg^2(a) + ctg^2(a) = 629/100.