Question

Розвязати диференціальне рівняння y'=2x+2.5 y=5,2 при x=1,4

Answer 1

$y'=2x+2,5\\\\\frac{dy}{dx}=2x+2,5\\\\\int dy=\int (2x+2,5)dx\\\\y_{obshee}=\frac{1}{2}\cdot \frac{(2x+2,5)^2}{2}+\frac{C}{4}\\\\5,2=\frac{(2\cdot 1,4+2,5)^2+C}{4}\\\\20,8=5,3^2+C\\\\C=-7,29\\\\y_{chastn.}=\frac{(2x+2,5)^2}{4}-\frac{7,29}{4}\\\\y_{chastn.}=\frac{1}{4}\cdot ((2x+2,5)^2-7,29)$

Answer 2

Для розв'язання даного диференціального рівняння, вам слід скористатися методом інтегрування.

Спочатку знайдемо загальний розв'язок диференціального рівняння y' = 2x + 2.5.

Щоб знайти загальний розв'язок, інтегруємо обидві частини рівняння по x:

∫(1/y) dy = ∫(2x + 2.5) dx

Після інтегрування отримаємо:

ln|y| = x^2 + 2.5x + C, де C - це константа інтегрування.

Тепер знайдемо значення константи C, використовуючи початкову умову y(1.4) = 5.2.

Підставимо x = 1.4 і y = 5.2 в останнє рівняння:

ln|5.2| = (1.4)^2 + 2.5(1.4) + C

ln|5.2| = 1.96 + 3.5 + C

ln|5.2| = 5.46 + C

Тепер знайдемо значення C, взявши натуральний логарифм від обох боків:

C = ln|5.2| - 5.46

C ≈ -0.161

Тепер, маючи значення C, можемо записати загальний розв'язок диференціального рівняння:

ln|y| = x^2 + 2.5x - 0.161

Щоб знайти частинний розв'язок з початковою умовою y(1.4) = 5.2, підставимо x = 1.4 в загальний розв'язок:

ln|y| = (1.4)^2 + 2.5(1.4) - 0.161

ln|y| = 1.96 + 3.5 - 0.161

ln|y| = 5.299

Тепер знайдемо y:

|y| = e^5.299

y = ±e^5.299

y ≈ ±200.07

Таким чином, частинний розв'язок диференціального рівняння з початковою умовою y(1.4) = 5.2 є y ≈ 200.07 (так як з початкової умови y більше за 0).