Question

F(x)=4x^2-x^4исследовать функцию и построить график

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Обл. опр.  х-любое  , функция f(x)=4x^2-x^4  - четная  y"=8х-4х^3=0,    4x(2-x^2)=0,  x=0   или х=-V2  , x=V2-точки экстр.  на числ прямой отмечаем эти точки  ,получаем +   (-V2)   -  0  +  V2  -,  где производная (+)  там ф-ция возрастает, где (-), там функция убывает,  в точках -V2 и V2  max  в т. 0  min  Найдем значение ф-ции в этих точках  f(-,+V2)=4  f(0)=0,  (подставляем в функцию), по этим точкам строим график

Answer 2

Для исследования функции F(x) = 4x^2 - x^4 сначала выполним основные шаги: определение области определения, нахождение производной, точек экстремума, интервалов возрастания/убывания и выпуклости/вогнутости, а также нахождение точек перегиба. Затем мы построим график функции для наглядности.

Шаг 1: Область определения Функция F(x) определена для всех действительных значений x.

Шаг 2: Найдем производную функции F(x) F'(x) = d/dx (4x^2 - x^4) F'(x) = 8x - 4x^3

Шаг 3: Найдем точки экстремума Для этого приравняем производную к нулю и решим уравнение: 8x - 4x^3 = 0 4x(2 - x^2) = 0

Таким образом, у нас есть два критических значения: x = 0 и x = ±√2. Теперь нужно провести исследование на интервалах между критическими значениями и за пределами их.

Шаг 4: Интервалы возрастания и убывания Для этого анализируем знак производной на интервалах. Выберем тестовые точки:

1. x = -∞
2. x = -√2
3. x = 0
4. x = √2
5. x = +∞

Таблица знаков производной:

rCopy code
   x       |   -∞   |   -√2  |    0   |   √2   |   +∞
F'(x)      |   -    |    +   |    0   |   -    |    +

Исходя из таблицы, на интервале от -∞ до -√2 функция убывает, на интервале от -√2 до 0 функция возрастает, на интервале от 0 до √2 функция убывает, а на интервале от √2 до +∞ функция возрастает.

Шаг 5: Точки перегиба Точки перегиба возникают там, где изменяется выпуклость/вогнутость функции. Это происходит, когда вторая производная равна нулю или не существует. Найдем вторую производную функции F(x): F''(x) = d/dx (8x - 4x^3) F''(x) = 8 - 12x^2

Теперь приравняем вторую производную к нулю и решим уравнение: 8 - 12x^2 = 0 12x^2 = 8 x^2 = 8/12 x^2 = 2/3 x = ±√(2/3)

У нас есть две точки перегиба: x = √(2/3) и x = -√(2/3).

Теперь мы можем составить итоговую таблицу значений функции F(x):

scssCopy code
   x       |   -∞   | -√(2/3)|   -√2  |    0   |   √2   | √(2/3) |   +∞
F(x)       |  +∞   |   -∞  |   -4   |    0   |   -4   |   -∞   |  +∞
F'(x)      |   -    |    +   |    +   |    0   |   -    |    +   |    +
F''(x)     |       |   -    |    -   |   -8   |   -    |   -    |      

Теперь построим график функции F(x):

На графике видно, что функция имеет экстремумы в точках (-√2, -4) и (√2, -4) и точки перегиба в точках (-√(2/3), -∞) и (√(2/3), -∞). Функция также ограничена сверху значением +∞ и снизу значением -∞.