Question

на каждой стороне параллелограмма с площадью S взято по точке. Площадь четырехугольника с вершинамм в этмх точках равна s/2. Докажите, что хотя бы одна из диагоналей четырехугольника параллельна одной из сторон параллелограмма.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте рассмотрим параллелограмм и четырехугольник, как показано на рисунке ниже:

mathematicaCopy code
    A _______ B
     |\     /|
     | \   / |
     |  \ /  |
     |___X___|       (X - точка на стороне AB параллелограмма)
    D|   /   |C
     |  /    |
     | /     |
     |/______|
    E         F       (E, F, и X - точки четырехугольника)

Пусть стороны параллелограмма равны a и b, а его площадь S = a * h, где h - высота параллелограмма, опущенная на сторону длины b.

Площадь четырехугольника EFXC равна s/2.

Мы можем заметить, что площадь четырехугольника EFXC равна разности площадей параллелограмма EXCB и параллелограмма EFA:

Площадь EFXC = Площадь EXCB - Площадь EFA

Теперь давайте выразим площади параллелограммов через их стороны и высоты:

Площадь EXCB = b * h₁, где h₁ - высота, опущенная на сторону EX.

Площадь EFA = a * h₂, где h₂ - высота, опущенная на сторону EA.

Теперь заметим, что:

Площадь EFXC = b * h₁ - a * h₂

Но из условия задачи мы знаем, что Площадь EFXC = s/2, поэтому:

s/2 = b * h₁ - a * h₂

Теперь докажем утверждение задачи, предполагая, что ни одна из диагоналей EF или XC не параллельна ни одной из сторон AB или BC соответственно.

Если EF не параллельна AB, то точка X не может быть находиться на стороне AB, и следовательно, h₁ > 0. То есть высота, опущенная на сторону EX, положительна.

Аналогично, если XC не параллельна BC, то точка X не может быть находиться на стороне BC, и следовательно, h₂ > 0. То есть высота, опущенная на сторону EA, также положительна.

Таким образом, в обоих случаях, b * h₁ > 0 и a * h₂ > 0.

Это означает, что сумма -b * h₁ + a * h₂ не может быть равна нулю, так как оба слагаемых положительны.

Тем не менее, мы знаем из нашего предыдущего равенства, что s/2 = -b * h₁ + a * h₂. Здесь происходит противоречие, так как сумма не может быть равна s/2, так как s/2 ≠ 0.

Следовательно, наше предположение было неверным, и хотя бы одна из диагоналей EF или XC должна быть параллельна одной из сторон AB или BC соответственно.

Таким образом, мы доказали, что хотя бы одна из диагоналей четырехугольника параллельна одной из сторон параллелограмма.