Question

На каждой стороне параллелограмма с помощью S взять по точке. Площадь четырехугольника с вершинами в этих точках равна S/2. Докажите, что хотя бы одна из диагоналей четырехугольника параллельна одной из сторон параллелограмма

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте обозначим стороны параллелограмма как a и b, и пусть S1 будет площадью четырехугольника с вершинами в точках на одной из сторон параллелограмма, а S2 - площадью четырехугольника с вершинами в точках на другой стороне параллелограмма.

Теперь предположим, что ни одна из диагоналей четырехугольника не параллельна ни одной из сторон параллелограмма. Это означает, что диагонали пересекаются внутри четырехугольника.

Заметим, что каждая из диагоналей разделяет четырехугольник на два треугольника, и каждый из этих треугольников имеет площадь S/2, так как их площади равны между собой.

Теперь давайте рассмотрим сумму площадей S1 и S2:

S1 + S2 = 2 * (S/2) = S.

Но мы знаем, что площадь четырехугольника с вершинами в точках на сторонах параллелограмма также равна S/2.

Это противоречие, так как S1 + S2 не может быть равно S/2. Поэтому наше предположение о том, что ни одна из диагоналей не параллельна сторонам параллелограмма, неверно.

Таким образом, мы доказали, что хотя бы одна из диагоналей четырехугольника должна быть параллельна одной из сторон параллелограмма.