Question

составить каноническое уравнение гиперболы с фокусами на оси Оу, если действительная ось равна 4 корень из 5, а эксцентриситет е=(корень из 5)/2.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

(x^2/a^2) - (y^2/b^2)= -1; 2a=4(5^0,5); a=2(5^0,5); a^2=20; эпсилон=c/a=(5/2)^0,5; c=[(5/2)^0,5][2(5^0,5)]=10/(2^0,5). b^2=c^2 - a^2 =50 - 20=30. Каноническое уравнение гиперболы: (x^2)/20 - (y^2)/30= -1.

Answer 2

Для составления канонического уравнения гиперболы с фокусами на оси Oy, нам понадобятся следующие данные:

Действительная ось (2a) = 4 * √5 Эксцентриситет (e) = √5 / 2

Каноническое уравнение гиперболы имеет следующий вид: (y - k)^2 / a^2 - (x - h)^2 / b^2 = 1

где (h, k) - координаты центра гиперболы, a - действительная полуось, и b - мнимая полуось.

Так как фокусы находятся на оси Oy, то центр гиперболы (h, k) будет лежать на оси Ox. Также, учитывая, что фокусы симметрично расположены относительно центра, координаты центра будут (0, k), где k - неизвестное значение.

Для определения k, воспользуемся свойством эксцентриситета гиперболы: e = c / a,

где c - расстояние от центра гиперболы до фокуса. В данном случае фокусы находятся на оси Oy, поэтому c = |k|. Также, a = 2a, где 2a - действительная ось.

Подставим известные значения: √5 / 2 = |k| / (4 * √5).

Теперь решим уравнение относительно |k|: √5 / 2 = |k| * √5 / (4 * √5), 1 / 2 = |k| / 4, |k| = 2.

Таким образом, значение k равно ±2.

Теперь, зная значение k, можем записать каноническое уравнение гиперболы: (y - 2)^2 / (4 * √5)^2 - (x - 0)^2 / b^2 = 1.

Учитывая эксцентриситет е = √5 / 2, связанный с полуосью b и действительной полуосью a следующим соотношением: e = √(a^2 + b^2) / a,

можем решить уравнение относительно b: √5 / 2 = √((4 * √5)^2 + b^2) / (4 * √5), 1 / 2 = √(80 + b^2) / (4 * √5).

Теперь избавимся от корня: 1 = √(80 + b^2) / (2 * √5), 2 * √5 = √(80 + b^2).

Возведем обе части уравнения в квадрат: 4 * 5 = 80 + b^2, 20 = 80 + b^2, b^2 = 20 - 80 = -60.

Таким образом, b^2 = -60, а значит b = ±√(-60) = ±√60 * √(-1) = ±√60 * i.

Итак, каноническое уравнение гиперболы с фокусами на оси Oy: (y - 2)^2 / (4 * √5)^2 - x^2 / (√60)^2 = 1.