Question

Докажите, что из каких то 11 натуральных числах , можно выбрать два числа чья разность будет делиться на 10.

Answer 1

Возьмем для примера 11 целых чисел от 10 до 20 и найдем остаток от деления каждого из них на 10

10/10=1(остаток 0)

11/10=1(остаток 1)

12/10=1(остаток 2)

-------------

19/10=1(остаток 9)

20/10=2(остаток 0)

На этом примере замечаем, что всегда существует 10 возможных остатков (от 0 до 9)

А у нас по условию любые 11 целых чисел, тогда получаем, что хотя бы два из них совпадают, т.е. по крайней мере два из любых 11 целых чисел при делении на 10 дают один и тот же остаток. Тогда разность этих чисел должна будет делиться на 10

Answer 2

Давайте докажем это утверждение методом противоположного предположения (от противного).

Предположим, что из 11 натуральных чисел нельзя выбрать два числа, чья разность делится на 10.

Рассмотрим 10 возможных остатков при делении натурального числа на 10: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Если рассмотреть 11 чисел, каждое из которых имеет один из остатков при делении на 10, то по принципу Дирихле, как минимум два из этих чисел будут иметь одинаковые остатки.

Предположим, что у нас есть два числа a и b из нашего множества из 11 чисел, и их остатки при делении на 10 равны одному и тому же числу r (0 ≤ r ≤ 9).

Тогда мы можем записать a и b следующим образом: a = 10k + r, b = 10l + r,

где k и l - некоторые натуральные числа.

Теперь рассмотрим разность a - b: a - b = (10k + r) - (10l + r) = 10k - 10l = 10(k - l).

Как видим, разность a - b делится на 10. Это противоречит нашему предположению, что нельзя выбрать два числа с разностью, делящейся на 10.

Следовательно, наше изначальное предположение неверно, и всегда можно выбрать два числа из 11 натуральных чисел, чья разность будет делиться на 10.