Question

Петя задумал 8 различных чисел, а потом стал выбирать из них по два и делить большее на меньшее. Он нашел 22 из 28 возможных частных, и они оказались натуральными степенями двойки. Докажите, что 6 оставшихся частных — тоже натуральные степени двойки. (Натуральная степень двойки — это 2 в степени, показатель которой равен натуральному числу.)

Answer 1

Натуральное число равно 5

Answer 2

Давайте рассмотрим ситуацию более подробно. Пусть числа, которые выбрал Петя, обозначаются как a, b, c, d, e, f, g, h. Изначально у нас есть 28 возможных частных, так как мы можем выбрать два числа из восьми (C(8, 2) = 28).

Теперь давайте предположим, что 22 из 28 возможных частных являются натуральными степенями двойки. Обозначим эти частные как 2^(x_1), 2^(x_2), ..., 2^(x_22).

Тогда каждое из чисел a, b, c, d, e, f, g, h может быть записано в формате 2^(y_i), где y_i - некоторое натуральное число.

Мы знаем, что каждое из чисел 2^(x_1), 2^(x_2), ..., 2^(x_22) было получено путем деления одного из чисел a, b, c, d, e, f, g, h на другое число из этого набора. То есть для каждого 2^(x_i) существуют такие числа y_i и y_j (где i ≠ j), что:

2^(x_i) = 2^(y_i) / 2^(y_j)

Из свойств степеней можно переписать это уравнение как:

2^(x_i) = 2^(y_i - y_j)

Теперь важно заметить, что 2^(x_i) и 2^(x_j) (где i ≠ j) различны, так как все исходные числа Пети были различными. Это значит, что разность y_i - y_j также различна для всех i и j.

Мы знаем, что у нас есть 22 натуральных числа 2^(x_i). Мы также знаем, что каждое из них может быть представлено в форме 2^(y_i), где y_i - некоторое натуральное число. Но тогда вопрос: сколько различных натуральных чисел может быть представлено в таком виде?

В этом месте стоит обратить внимание на то, что каждое натуральное число имеет единственное представление в виде степени двойки. Например:

1 = 2^0 2 = 2^1 4 = 2^2 8 = 2^3 ...

Таким образом, у нас есть ровно 22 различных натуральных числа 2^(x_i) и, следовательно, ровно 22 различных натуральных числа y_i.

Теперь у нас остались еще 6 чисел, которые мы обозначим как z_1, z_2, ..., z_6. Эти числа не были использованы ранее для получения натуральных степеней двойки.

Таким образом, каждое из чисел z_1, z_2, ..., z_6 имеет представление в виде 2^(w_i), где w_i - некоторое натуральное число.

Итак, мы показали, что каждое из 28 возможных частных может быть представлено в виде некоторой натуральной степени двойки. Но у нас всего 28 возможных частных, значит, не осталось других частных кроме z_1, z_2, ..., z_6. Это означает, что все 6 оставшихся частных также являются натуральными степенями двойки.

Таким образом, мы доказали, что 6 оставшихся частных также являются натуральными степенями двойки.