Question

Петя задумал 8 различных чисел, а потом стал выбирать из них по два и делить большее на меньшее. Он нашел 22 из 28 возможных частных, и они оказались натуральными степенями двойки. Докажите, что 6 оставшихся частных — тоже натуральные степени двойки. (Натуральная степень двойки — это 2 в степени, показатель которой равен натуральному числу.)

Answer 1

Ответ:

даже не знаю) тяжело

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Ответ:

Эээээх. Вот как у нас тут теперь олимпиады то решают... обидно

Пошаговое объяснение:

Answer 3

Давайте рассмотрим данную задачу и докажем утверждение.

Обозначим выбранные Петей числа за a_1, a_2, ..., a_8. Из условия задачи мы знаем, что все эти числа различны.

Каждый раз, когда Петя выбирает из них два числа и делит большее на меньшее, он получает некоторое частное. Допустим, что большее число равно a_i, а меньшее a_j (i ≠ j). Тогда полученное частное равно a_i / a_j.

По условию, 22 из 28 возможных частных являются натуральными степенями двойки. Пусть k_1, k_2, ..., k_22 — это степени двойки, соответствующие этим 22 частным.

Теперь давайте рассмотрим 6 оставшихся частных. Пусть m_1, m_2, ..., m_6 — это значения этих частных.

Поскольку 28 возможных частных были получены из 8 чисел, у нас есть соотношение:

8 * (8 - 1) / 2 = 28

То есть, каждая пара чисел встречается ровно один раз в этих частных.

Допустим, мы выбрали числа a_p и a_q (p ≠ q) и получили частное a_p / a_q.

Если a_p / a_q является натуральной степенью двойки, то есть a_p / a_q = 2^k, где k — некоторое натуральное число.

Теперь рассмотрим обратное значение a_q / a_p. Если a_p / a_q = 2^k, то a_q / a_p = 2^(-k), так как 2^k * 2^(-k) = 1.

Это означает, что если одно частное является натуральной степенью двойки, то обратное ему (поменяв числа местами) является степенью двойки с отрицательным показателем.

Но в нашем случае все 28 частных являются натуральными степенями двойки, что значит, что у каждого частного есть обратное значение, которое тоже является натуральной степенью двойки.

Таким образом, если у нас есть 22 частных, которые являются натуральными степенями двойки, то оставшиеся 6 частных и их обратные значения тоже должны быть натуральными степенями двойки.

Таким образом, мы доказали, что все 28 возможных частных являются натуральными степенями двойки.