Question

ПРОШШШУУУУУ УМОЛЯЯЯЮ!!!!! ПОМОГИИИИТТТЕЕЕЕ СРОООЧНОДокажите, что всякая касательная к эллипсу образует равные углы с фокальными радиусами, проведенными в точку касания.

Answer 1

Ответ:

Угол падения равен углу отражения.

Пошаговое объяснение:

Проще всего доказать геометрически. Эллипс -геометрическое место точек сумма расстояний от которых до фокусов А и В одинакова и равна Л. Пусть О точка касания прямой а=СД и эллипса. Отобразим А симметрично относительно а. Получим точку А1. Очевидно, А1В=Л.

Точно также отобразим В относительно СД. В1А=Л. Значит В1А и А1В пересекаются в точке О. Треугольники ВВ1О и А1АО -равнобедренные и СД - у них биссектриса. Углы А1ОА и В1ОВ равны как внртикальные.

Значит угол АОС=ВОД, как половины равных вертикальных углов.

Это и есть углы между касательной и фокальными радиусами.

Примечание: Если СД зеркало, а в А источник света , который после отражения попадет в В, то указанный факт означает закон оптики : угол падения равен углу отражения.

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение.

Пусть у нас есть эллипс с фокусами F₁ и F₂, и касательная к нему, проходящая через точку касания T. Проведем фокальные радиусы FT₁ и FT₂ из точки касания T до фокусов F₁ и F₂ соответственно.

Для начала, вспомним определение эллипса: эллипсом называется множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек F₁ и F₂ (фокусов) постоянна и равна полуоси эллипса. Математически это можно записать как:

|TF₁| + |TF₂| = const.

Теперь обратим внимание на касательную к эллипсу в точке T. Касательная к эллипсу всегда перпендикулярна радиусу, проведенному из фокуса к точке касания. Таким образом, у нас получается прямоугольный треугольник TTF₁ и прямоугольный треугольник TTF₂.

Мы знаем, что для прямоугольных треугольников катеты, образующие прямой угол, относятся как 1:1, то есть |TF₁| = |TF₂|.

Теперь вернемся к выражению для эллипса |TF₁| + |TF₂| = const. Поскольку |TF₁| = |TF₂|, мы можем переписать это выражение как:

2|TF₁| = const.

Это означает, что длина фокального радиуса |TF₁| (или |TF₂|) является постоянной величиной. Теперь у нас есть равные фокальные радиусы, и угол между радиусом и касательной образует прямой угол в каждой точке касания.

Таким образом, мы доказали, что всякая касательная к эллипсу образует равные углы с фокальными радиусами, проведенными в точку касания.