Question

Площина Альфа та Бета паралельні. Через точку О, яка знаходиться між цими площинами, проведено дві прямі. Одна з них перетинає площини в точках А1 та В1, а друга в точках А2 та В2 відповідно. Знайдіть кут ОА1В2, якщо кут В1ОА2 =78°, кут ОВ1А2 вдвічі менший за кут ОА2В1

Answer 1

Кресли площини та прямі А1В1 і А2В2, що перетинаються в точці О.

З трикутника ОВ1А2, де кут В1ОА2=78°. Більший кут позначаємо за 2х, а менший за х.

В трикутнику сумма кутів 180°, отже виходить така рівність:

78°+3х=180°

х=34.

Кути В1 та А1 будуть внутрішні різносторонні при паралельних прямих, отже шуканий кут ОА1В2=ОВ1А2=34°

Answer 2

Для знаходження кута ОА1В2, спочатку скористаємося заданими відношеннями між кутами.

1. Кут В1ОА2 = 78° (задано).
2. Кут ОВ1А2 вдвічі менший за кут ОА2В1: Нехай кут ОВ1А2 буде x, тоді кут ОА2В1 = 2x.

Тепер, з властивості паралельних прямих та площин можемо зробити наступні спостереження:

1. Кут ОА2В1 + кут В1ОА2 + кут ОА2О = 180° (три кути, що утворюють пряму).
2. Кут ОВ1А2 + кут А2ОВ2 + кут ОВ2О = 180° (три кути, що утворюють пряму).

Тепер складемо систему рівнянь:

1. 2x + 78° + кут ОА2О = 180°.
2. x + кут А2ОВ2 + кут ОВ2О = 180°.

Також зазначено, що площини Альфа та Бета паралельні, тому кут ОА2О = кут ОВ1О (паралельні прямі).

Тепер, якщо кут ОА2О = кут ОВ1О = y, то систему рівнянь можна переписати так:

1. 2x + 78° + y = 180°.
2. x + кут А2ОВ2 + y = 180°.

Вирішимо цю систему рівнянь:

З першого рівняння отримуємо: y = 180° - 2x - 78° = 102° - 2x.

Підставимо y у друге рівняння:

x + кут А2ОВ2 + 102° - 2x = 180°.

Спростимо:

• x + кут А2ОВ2 = 78°.

Тепер знаємо, що кут ОВ1А2 = x і кут ОВ1А2 = 78°.

Але кут В1ОА2 = 78° (задано).

Застосуємо властивості паралельних прямих: кут ОВ1А2 = кут В1ОА2.

Таким чином, x = 78°.

Тепер можемо знайти кут ОА1В2:

Кут ОА1В2 = кут ОА1О + кут ОВ2О.

Так як площини паралельні, то кут ОА1О = кут ОВ1О = y = 102° - 2x = 102° - 2 * 78° = 102° - 156° = -54°.

Кут ОВ2О = 180° - кут А2ОВ2 = 180° - (78° + x) = 180° - (78° + 78°) = 180° - 156° = 24°.

Тепер знаходимо кут ОА1В2:

Кут ОА1В2 = -54° + 24° = -30°.

Отже, кут ОА1В2 дорівнює -30°.