Question

1. Даны вершины треугольника ABC: Найти: а) уравнение стороны АВ; б) уравнение высоты CH; в) уравнение медианы AM; г) уравнение биссектрисы ВС; д) точку N пересечения медианы AM и высоты CH; е) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ; ж)угол между прямыми АВ и АС. A (3, -1) B (11, 3) С (-6, 2) A (x1,y1) B(x2,y2) C(x3,y3)

Answer 1

$A(3,-1)\; ,\; \; B(11,3)\; ,\; \; C(-6,2)\\\\1)\; \; AB:\; \; \frac{x-3}{11-3}=\frac{y+1}{3+1}\; \; ,\; \; \frac{x-3}{8}=\frac{y+1}{4}\; ,\; \; \frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{1}\; ;\\\\2)\; \; CH\perp AB\; \; \to \; \; \vec{n}_{CH}=\vec{s}_{AB}=(2,1)\\\\CH:\; \; 2\cdot (x+6)+1\cdot (y-2)=0\; ,\; \; 2x+y+10=0\; ;\\\\3)\; \; BM=MC\; ,\; \; x_{M}=\frac{11-6}{2}=2,5\; \; ;\; \; y_{M}=\frac{3+2}{2}=2,5\\\\AM:\; \; \frac{x-3}{2,5-3}=\frac{y+1}{2,5+1}\; ,\; \; \frac{x-3}{-0,5}=\frac{y+1}{3,5}\; ,\; \; \frac{x-3}{-1}=\frac{y+1}{7}$

$AM:\; \; 7x+y-20=0$

BL - биссектриса

$4)\; \; \overline {BA}=(-8,-4)\; \; ,\; \overline {BC}=(-17,-1)\; ,\\\\|\overline {BA}|=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{80}=4\sqrt5\; ,\; |\overline {BC}|=\sqrt{17^2+1^2}=\sqrt{290}\\\\\vec{s}_{BL}=\vec{BA^\circ }+\vec{BC^\circ }=(\frac{-8}{4\sqrt5}\, ,\, \frac{-4}{4\sqrt5})+(\frac{-17}{\sqrt{290}}\, ,\, \frac{-1}{\sqrt{290}})=\\\\=(-\frac{2}{\sqrt5}-\frac{17}{\sqrt{290}}\, ;\, -\frac{1}{\sqrt5}-\frac{1}{\sqrt{290}})=(-\frac{2\sqrt{58}+17}{\sqrt{290}}\, ;\, -\frac{\sqrt{58}+1}{\sqrt{290}})$

$BL:\; \; \frac{x-11}{2\sqrt{58}+17}=\frac{y-2}{\sqrt{58+1}}\\\\5)\; \; \left \{ {{7x+y-20=0} \atop {2x+y+10=0}} \right. \ominus \left \{ {{5x-30=0} \atop {2x+y+10=0}} \right. \; \left \{ {{x=6} \atop {y=-22}} \right. \; \; \Rightarrow \; \; N(6,-22)\\\\6)\; \; l\parallel AB\; ,\; C\in l\; \; ,\; \; \vec{s}_{AB}=(2,1)\\\\l:\; \; \frac{x+6}{2}=\frac{y-2}{1}\\\\7)\; \; \vec{s}_{AB}=(2,1)\; ,\; \overline {AC}=(-9,3)\; ,\; \; \vec{s}_{AC}=(-3,1)\\\\\alpha =\angle (AB,AC)\\\\cos\alpha =\frac{2\cdot (-3)+1\cdot 1}{\sqrt{2^2+1^2}\cdot \sqrt{3^2+1^2}}=\frac{-5}{5\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt2}{2}\\\\\alpha =135^\circ$

Answer 2

Чтобы найти различные уравнения и точки в треугольнике ABC, используем заданные координаты вершин.

а) Уравнение стороны AB:

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через вершины A(3, -1) и B(11, 3), используем формулу уравнения прямой y = mx + b, где m - наклон прямой, а b - свободный член.

1. Найдем значение наклона m: m = (y2 - y1) / (x2 - x1) m = (3 - (-1)) / (11 - 3) m = 4 / 8 m = 1/2

2. Найдем свободный член b, зная, что прямая проходит через точку A(3, -1): -1 = (1/2) * 3 + b -1 = 3/2 + b b = -1 - 3/2 b = -5/2

Таким образом, уравнение стороны AB: y = (1/2)x - 5/2.

б) Уравнение высоты CH:

Высота CH проходит через вершину C(-6, 2) и перпендикулярна стороне AB. Чтобы найти уравнение высоты, сначала найдем уравнение прямой, параллельной AB и проходящей через C.

Направляющий вектор стороны AB: AB = (11 - 3, 3 - (-1)) = (8, 4). Направляющий вектор высоты CH будет перпендикулярным к AB и иметь координаты: CH = (-4, 8).

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через C(-6, 2) и имеющей направляющий вектор CH(-4, 8). Обозначим y = mx + b, где m - наклон прямой, а b - свободный член.

1. Найдем значение наклона m: m = (8) / (-4) m = -2

2. Найдем свободный член b, зная, что прямая проходит через точку C(-6, 2): 2 = (-2) * (-6) + b 2 = 12 + b b = 2 - 12 b = -10

Таким образом, уравнение высоты CH: y = -2x - 10.

в) Уравнение медианы AM:

Медиана AM - это отрезок, соединяющий вершину A(3, -1) и середину стороны BC. Найдем середину стороны BC.

Координаты середины стороны BC: x = (x2 + x3) / 2 x = (11 + (-6)) / 2 x = 5 / 2

y = (y2 + y3) / 2 y = (3 + 2) / 2 y = 5 / 2

Таким образом, середина стороны BC имеет координаты M(5/2, 5/2).

Теперь найдем уравнение медианы AM, которая проходит через точки A(3, -1) и M(5/2, 5/2). Для этого также воспользуемся уравнением прямой y = mx + b.

1. Найдем значение наклона m: m = (5/2 - (-1)) / (5/2 - 3) m = (5/2 + 1) / (-1/2) m = (7/2) / (-1/2) m = -7

2. Найдем свободный член b, зная, что прямая проходит через точку A(3, -1): -1 = (-7) * 3 + b -1 = -21 + b b = -1 + 21 b = 20

Таким образом, уравнение медианы AM: y = -7x + 20.

г) Уравнение биссектрисы ВС:

Биссектриса угла C делит сторону AB пополам и перпендикулярна ей. Найдем координаты точки пересечения биссектрисы со стороной AB.

Координаты середины стороны AB: x = (x1 + x2) / 2 x = (3 + 11) / 2 x = 14 / 2 x = 7

y = (y1 + y2) / 2 y = (-1 + 3) / 2 y = 2 / 2 y = 1

Таким образом, середина стороны AB имеет координаты P(7, 1).

Направляющий вектор стороны AB: AB = (11 - 3, 3 - (-1)) = (8, 4). Направляющий вектор биссектрисы BC будет равен направляющему вектору AB, но с противоположным направлением, чтобы биссектриса была перпендикулярна стороне AB.

Направляющий вектор биссектрисы BC: BC = (-8, -4).

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точку B(11, 3) и имеющей направляющий вектор BC(-8, -4). Обозначим y = mx + b, где m - наклон прямой, а b - свободный член.

1. Найдем значение наклона m: m = (-4) / (-8) m = 1/