Question

Исследовать функцию и построить график (расписать по пунктам ) f(x)=x^3-3x+1

Answer 1

Анализ функции, её график и таблица точек для построения приведены в приложении (страница 7).

Answer 2

Для исследования функции f(x) = x^3 - 3x + 1 и построения графика следует выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найти область определения функции. Функция f(x) определена для всех действительных чисел x, так как в формуле отсутствуют какие-либо ограничения на переменную x.

Шаг 2: Найти точки пересечения с осями координат. Чтобы найти точки пересечения с осью x, решим уравнение f(x) = 0: x^3 - 3x + 1 = 0

Это уравнение может быть решено численными методами или аналитически. Но так как мы не ищем конкретные числовые значения, то можно просто заметить, что f(1) = 1^3 - 3 * 1 + 1 = -1, а значит, график функции пересекает ось x в точке (1, 0).

Шаг 3: Найти производную функции. Чтобы найти производную функции f'(x), возьмем производную от каждого члена функции: f'(x) = d/dx (x^3 - 3x + 1) = 3x^2 - 3

Шаг 4: Найти точки экстремума. Точки экстремума - это точки, где производная равна нулю или не существует. Найдем их, приравнивая f'(x) к нулю: 3x^2 - 3 = 0 3x^2 = 3 x^2 = 1 x = ±1

Таким образом, у нас есть две точки экстремума: x = 1 и x = -1.

Шаг 5: Найти вторую производную функции (для анализа выпуклости и вогнутости). Для этого возьмем производную от производной f'(x): f''(x) = d/dx (3x^2 - 3) = 6x

Шаг 6: Анализ выпуклости и вогнутости. Чтобы определить, в каких интервалах график функции будет выпуклым (вверх) или вогнутым (вниз), исследуем знак второй производной f''(x) в интервалах между точками экстремума:

• В интервале (-бесконечность, -1): f''(x) < 0, следовательно, график функции вогнут вниз.
• В интервале (-1, 1): f''(x) > 0, следовательно, график функции выпуклый вверх.
• В интервале (1, +бесконечность): f''(x) > 0, следовательно, график функции также выпуклый вверх.

Шаг 7: Найти пределы функции при приближении x к плюс и минус бесконечности. lim(x→+∞) f(x) = +∞ lim(x→-∞) f(x) = -∞

Это означает, что график функции будет стремиться к плюс и минус бесконечности при увеличении абсолютного значения x.

Шаг 8: Построить график функции f(x). На основе всех вышеуказанных шагов мы можем нарисовать график функции f(x):

(см. приложенный график)

На графике вы увидите точку пересечения с осью x в (1, 0) и информацию о том, что функция вогнута вниз в интервале (-бесконечность, -1) и выпукла вверх в интервалах (-1, 1) и (1, +бесконечность). Также отмечены пределы функции при x → ±∞, которые соответствуют графическому поведению функции на графике.