Question

Построить график функции y=ƒ(x), используя общую схему исследования функции. y=x^3+6x^2+9x+4

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Хорошо, давайте проведем исследование функции $y = f(x) = x^3 + 6x^2 + 9x + 4$ и построим график.

Шаг 1: Найти область определения функции

Функция $f(x) = x^3 + 6x^2 + 9x + 4$ определена для всех значений $x$, так как это многочлен и является допустимым для всех действительных чисел.

Шаг 2: Найти производную функции

Найдем производную функции $f(x)$ для анализа экстремумов и поведения функции.

$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 6x^2 + 9x + 4) = 3x^2 + 12x + 9$

Шаг 3: Найти точки экстремума

Для того чтобы найти точки экстремума, решим уравнение $f'(x) = 0$:

$3x^2 + 12x + 9 = 0$

Можем разделить уравнение на 3 для упрощения:

$x^2 + 4x + 3 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

$x = \frac{-4 \pm 2}{2}$

$x = -3$ или $x = -1$

Таким образом, у нас есть две точки экстремума: (-3, f(-3)) и (-1, f(-1)).

Шаг 4: Найти значения функции в критических точках и концах области определения

Теперь найдем значения функции $f(x)$ в критических точках и на концах области определения:

• $f(-3) = (-3)^3 + 6(-3)^2 + 9(-3) + 4 = -27 + 54 - 27 + 4 = 4$
• $f(-1) = (-1)^3 + 6(-1)^2 + 9(-1) + 4 = -1 + 6 - 9 + 4 = 0$

Шаг 5: Анализ поведения функции на интервалах

Анализ поведения функции производится с использованием производной $f'(x)$ и знаковой таблицы. Посмотрим знаки производной на разных интервалах:

Интервал $x$	Знак $f'(x)$	Знак $f(x)$
$-\infty, -3$	Положителен	Возрастает
$-3, -1$	Отрицателен	Убывает
$-1, \infty$	Положителен	Возрастает

Шаг 6: Найти точки пересечения с осями координат

Чтобы найти точки пересечения с осями координат, решим уравнение $f(x) = 0$:

$x^3 + 6x^2 + 9x + 4 = 0$

Это уравнение третьей степени, и его аналитическое решение достаточно сложно, поэтому явного аналитического выражения для корней не будет. Однако мы уже знаем, что у нас есть точка пересечения с осью $x$ в $x = -1$, как мы выяснили ранее.

Также, чтобы найти точку пересечения с осью $y$ ($y$-перехват), подставим $x = 0$ в уравнение:

$y = 0^3 + 6 \cdot 0^2 + 9 \cdot 0 + 4 = 4$

Таким образом, у нас есть точка пересечения с осью $y$ в (0, 4).

Шаг 7: Построить график функции

Теперь, используя всю предыдущую информацию, мы можем построить график функции $y = f(x) = x^3 + 6x^2 + 9x + 4$:

На графике видно, что функция имеет точку пересечения с осью $y$ в (0, 4) и точку экстремума в (-3, 4). Отметим также, что функция возрастает на интервале $(-\infty, -3)$