Question

Найти производные функций: y=3^(ln x)*arcctg 2x Помогите пожалуйста)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для нахождения производной функции y по переменной x, нам понадобятся некоторые правила дифференцирования. Начнем с данной функции y = 3^(ln x) * arcctg(2x). Обозначим arcctg(2x) как u и 3^(ln x) как v.

Шаг 1: Найдем производную u по переменной x. Функция arcctg(x) является обратной к функции cot(x) и может быть записана как arcctg(x) = π/2 - arctg(x).

Поэтому arcctg(2x) = π/2 - arctg(2x).

Теперь возьмем производную arctg(2x):

d/dx(arctg(2x)) = 1/(1 + (2x)^2) * d/dx(2x) = 1/(1 + 4x^2) * 2 = 2/(1 + 4x^2).

Теперь производная u:

du/dx = d/dx(π/2 - arctg(2x)) = - d/dx(arctg(2x)) = -2/(1 + 4x^2).

Шаг 2: Найдем производную v по переменной x. Для этого применим правило дифференцирования степенной функции.

Если y = a^(u(x)), то dy/dx = ln(a) * a^(u(x)) * du/dx.

В нашем случае a = 3, и u(x) = ln(x).

dv/dx = d/dx(3^(ln(x))) = ln(3) * 3^(ln(x)) * d/dx(ln(x)) = ln(3) * 3^(ln(x)) * 1/x = ln(3) * (3^(ln(x)) / x).

Шаг 3: Используем правило произведения для нахождения производной y по x. Если y = u(x) * v(x), то dy/dx = u(x) * dv/dx + v(x) * du/dx.

В нашем случае y = 3^(ln x) * arcctg(2x), u(x) = arcctg(2x) и v(x) = 3^(ln x).

dy/dx = arcctg(2x) * ln(3) * (3^(ln(x)) / x) + 3^(ln x) * (-2/(1 + 4x^2)).

Таким образом, производная функции y = 3^(ln x) * arcctg(2x) по переменной x равна:

dy/dx = arcctg(2x) * ln(3) * (3^(ln(x)) / x) - 2 * 3^(ln x) / (1 + 4x^2).