Question

постройте график функции y= |x |x- |x |-2x и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки

Answer 1

Ответ:

m= 0,25 и m = –2,25

Пошаговое объяснение:

Дана функция y=|x|·x–|x|–2·x.

1) x<0. Тогда левый кусок функции имеет вид:

y=|x|·x–|x|–2·x=–x·x–(–x)–2·x=–x²+x–2·x=–x²–x – это парабола, у которой ветви направлены вниз и с вершиной в точке

x= –(–1)/(2·(–1))= –0,5. Значение в вершине:

y(–0,5)= –(–0,5)²–(–0,5)=0,25.

Чтобы построит график определим значение функции в точке x=–1 и x=–2:

y(–1)= –(–1)²–(–1)=0; y(–2)= –(–2)²–(–2)=–2.

2) x≥0. Тогда правый кусок функции имеет вид:

y=|x|·x–|x|–2·x=x·x–x–2·x=x²–3·x – это парабола, у которой ветви направлены вверх и с вершиной в точке

x= –(–3)/(2·1)= 1,5. Значение в вершине:

y(1,5)= 1,5²–3·1,5= –2,25.

Чтобы построит график определим значение функции в точке x=0 и x=3:

y(0)= 0²–3·0=0; y(3)= 3²–3·3=0.

3) Построим график функций (см. рисунок). Тогда ответом будут  только: m= 0,25 и m = –2,25, то есть только прямые y= 0,25 и y= –2,25 имеют с графиком ровно две общие точки.  

При  –2,25<m<0,25 прямые y=m имеют с графиком ровно три общие точки, а при m<–2,25 или 0,25<m прямые y=m имеют с графиком ровно одну общую точку.

Answer 2

Для построения графика функции y = |x| * (x - |x| - 2x) сначала разберемся с выражением под модулем.

Посмотрим на выражение x - |x| - 2x:

1. Если x >= 0, то |x| = x, и выражение становится: x - x - 2x = -2x.
2. Если x < 0, то |x| = -x, и выражение становится: x - (-x) - 2x = 2x.

Итак, выражение под модулем принимает два различных значения в зависимости от знака аргумента x.

Теперь построим график функции y = |x| * (x - |x| - 2x):

1. Рассмотрим область x >= 0:

   • Для x >= 0 выражение под модулем равно -2x.
   • Таким образом, функция y = |x| * (x - |x| - 2x) при x >= 0 будет равна y = x * (-2x) = -2x^2.

2. Рассмотрим область x < 0:

   • Для x < 0 выражение под модулем равно 2x.
   • Таким образом, функция y = |x| * (x - |x| - 2x) при x < 0 будет равна y = -x * 2x = -2x^2.

Таким образом, на всей числовой оси функция y = |x| * (x - |x| - 2x) равна y = -2x^2.

Теперь определим, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки:

Прямая y = m задается уравнением -2x^2 = m.

Для того чтобы уравнение имело два решения, дискриминант квадратного уравнения должен быть положительным:

Дискриминант D = b^2 - 4ac, где у нас a = -2, b = 0 и c = -m.

D = 0 - 4*(-2)*(-m) = -8m.

Требуемое условие: D > 0 -8m > 0 m < 0

Таким образом, прямая y = m будет иметь ровно две общие точки с графиком функции при любом отрицательном значении m.