Question

Исследовать функцию y=x^2*lnx

Answer 1

Исследование по другому ничего не выходит

Answer 2

Для исследования функции y = x^2 * ln(x) давайте рассмотрим её свойства:

1. Определение области определения: Функция определена для x > 0, так как логарифм ln(x) определен только для положительных значений аргумента.

2. Нули функции: Для определения нулей функции приравняем y к нулю: x^2 * ln(x) = 0 Так как умножение на ноль дает ноль, то получим два случая: x^2 = 0 => x = 0 ln(x) = 0 => x = 1 (так как ln(1) = 0) Таким образом, у функции есть два нуля: x = 0 и x = 1.

3. Асимптоты: Посмотрим на поведение функции при стремлении x к нулю и бесконечности: При x -> 0: x^2 * ln(x) -> 0 * (-∞) = 0 Значит, у функции есть горизонтальная асимптота y = 0 при x -> 0. При x -> ∞: x^2 * ln(x) -> ∞ * ∞ = ∞ (бесконечность) Значит, у функции нет вертикальной асимптоты при x -> ∞.

4. Производная функции: Найдем производную функции y = x^2 * ln(x): y' = (2x * ln(x)) + (x * 1/x) = 2x * ln(x) + 1 Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю: 2x * ln(x) + 1 = 0 2x * ln(x) = -1 ln(x) = -1/(2x) Поскольку x > 0, значение аргумента логарифма должно быть положительным, но -1/(2x) всегда отрицательно. Таким образом, у функции нет экстремумов.

5. Выпуклость и вогнутость: Найдем вторую производную функции, чтобы определить выпуклость и вогнутость функции: y'' = (2 * ln(x)) + 1/x Для определения выпуклости и вогнутости функции, найдем точки перегиба, приравняв вторую производную к нулю: 2 * ln(x) + 1/x = 0 2 * ln(x) = -1/x ln(x) = -1/(2x) Это уравнение также не имеет решений, таким образом, у функции нет точек перегиба.

6. Поведение функции при x -> 0+ и x -> +∞: При x -> 0+ значение функции стремится к 0 (как уже установлено ранее). При x -> +∞ значение функции стремится к бесконечности (как уже установлено ранее).

Таким образом, функция y = x^2 * ln(x) определена на интервале (0, +∞), имеет два нуля при x = 0 и x = 1, горизонтальную асимптоту y = 0 при x -> 0, а также стремится к бесконечности при x -> +∞. У функции нет экстремумов и точек перегиба.