Question

Дослідити функцію на екстремум y=2x^3-3x^2

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Щоб дослідити функцію на екстремум, спочатку знайдемо її похідні та точки, де вони дорівнюють нулю. Такі точки можуть бути максимумами або мінімумами функції.

Дана функція: y = 2x^3 - 3x^2

1. Знайдемо першу похідну y' відносно x: y' = d/dx(2x^3) - d/dx(3x^2) y' = 6x^2 - 6x

2. Знайдемо другу похідну y'' відносно x: y'' = d/dx(6x^2 - 6x) y'' = 12x - 6

3. Знайдемо точки, де похідна y' дорівнює нулю: 6x^2 - 6x = 0

Тепер розв'яжемо рівняння: 6x(x - 1) = 0

Звідси маємо дві можливі точки: a) 6x = 0 => x = 0 b) x - 1 = 0 => x = 1

4. З'ясуємо, які з цих точок є локальними максимумами або мінімумами, використовуючи другу похідну.

a) Підставимо x = 0 в другу похідну y'': y''(0) = 12(0) - 6 = -6

Якщо y''(0) < 0, то це підтверджує, що в точці x = 0 функція має локальний максимум.

b) Підставимо x = 1 в другу похідну y'': y''(1) = 12(1) - 6 = 6

Якщо y''(1) > 0, то це підтверджує, що в точці x = 1 функція має локальний мінімум.

Отже, ми знайшли дві точки, де функція може мати локальний екстремум: x = 0 (локальний максимум) і x = 1 (локальний мінімум). Щоб з'ясувати їх тип (максимум або мінімум), можемо розглянути поведінку функції поблизу цих точок, або використовувати табличні методи.

Зображення графіку функції може також допомогти зрозуміти її екстремуми:

На графіку видно, що точка (0, 0) представляє локальний максимум, а точка (1, -1) представляє локальний мінімум.