Question

Как определить вид кривой второго порядка и построить её? Например дано такое уравнение: x2 +y2 + 6x +8y +1= 0.

Answer 1

Дано уравнение: x² +y² + 6x +8y +1 = 0.

Выделяем полные квадраты.

(x² + (2*3)x +9) - 9 + (y² +(2*4)y + 16) - 16 +1 = 0.

(х + 3)² + (у + 4)² = 24.

Это уравнение окружности с центром в точке (-3; -4) и радиусом √24 = 2√6.

Answer 2

Уравнение x^2 + y^2 + 6x + 8y + 1 = 0 представляет кривую второго порядка. Чтобы определить её вид, можно привести это уравнение к каноническому виду для каждого типа кривой.

1. Канонический вид уравнения окружности: (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

2. Канонический вид уравнения эллипса: (x - h)^2 / a^2 + (y - k)^2 / b^2 = 1, где a > b

3. Канонический вид уравнения гиперболы: (x - h)^2 / a^2 - (y - k)^2 / b^2 = 1, где a > 0, b > 0

4. Канонический вид уравнения параболы: y = a(x - h)^2 + k

Для уравнения x^2 + y^2 + 6x + 8y + 1 = 0, нужно привести его к одному из канонических видов. Начнем с завершения квадратов для x и y:

x^2 + 6x + y^2 + 8y + 1 = 0

Для завершения квадратов по x добавим (6/2)^2 = 9:

x^2 + 6x + 9 + y^2 + 8y + 1 = 0

Теперь для завершения квадратов по y добавим (8/2)^2 = 16:

x^2 + 6x + 9 + y^2 + 8y + 16 - 16 + 1 = 0

Теперь перепишем уравнение следующим образом, объединив соответствующие члены:

(x^2 + 6x + 9) + (y^2 + 8y + 16) - 16 + 1 = 0

(x + 3)^2 + (y + 4)^2 - 16 + 1 = 0

(x + 3)^2 + (y + 4)^2 - 15 = 0

Теперь у нас есть уравнение вида (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, что соответствует каноническому виду уравнения окружности. Сравнивая с каноническим видом окружности, можно сказать, что данная кривая является окружностью с центром в точке (-3, -4) и радиусом sqrt(15).

Чтобы построить эту окружность, нарисуйте точку с координатами (-3, -4) и нарисуйте окружность с радиусом sqrt(15) и центром в этой точке.