Question

Определить вид и расположение кривой второго порядка2x^2 − 3y^2 + 8x + 6y −1= 0, приведя ее уравнение к каноническомувиду. Найти уравнение прямой, проходящей через центр кривой второго порядка и точку A(2; 4)ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!!!

Answer 1

$2x^2-3y^2+8x+6y-1=0\\ 2(x^2+4x+4)-3(y^2-2y+1)=6\\ 2(x+2)^2-3(y-1)^2=6\\ \frac{(x+2)^2}{3}-\frac{(y-1)^2}{2}=1\\ O(-2;1)$
это уравнение гиперболы с центром  (-2;1)
Тогда уравнение прямой по точкам 
$O(-2;1) \ A(2;4)\\ \frac{x+2}{4}=\frac{y-1}{3}\\ 3x+6=4y-4\\ 3x-4y+10=0$

Answer 2

Данное уравнение 2x^2 - 3y^2 + 8x + 6y - 1 = 0 является уравнением кривой второго порядка.

Чтобы привести уравнение кривой к каноническому виду, нужно сгруппировать переменные x и y отдельно и переписать уравнение следующим образом:

(2x^2 + 8x) - (3y^2 + 6y) = 1

Далее, нужно привести выражение в скобках к виду суммы квадратов, чтобы получить каноническую форму уравнения. Для этого будем добавлять и вычитать необходимые значения:

2(x^2 + 4x + 4) - 3(y^2 + 2y + 1) - 8 - 3 = 1

2(x + 2)^2 - 3(y + 1)^2 - 11 = 1

2(x + 2)^2 - 3(y + 1)^2 = 12

Таким образом, уравнение кривой второго порядка приведено к каноническому виду: 2(x + 2)^2 - 3(y + 1)^2 = 12.

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через центр кривой и точку A(2; 4), нужно определить координаты центра кривой второго порядка. Центр можно найти, используя общий вид уравнения кривой:

2(x + 2)^2 - 3(y + 1)^2 = 12

Располагая уравнение кривой второго порядка в общем виде Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0, можно определить координаты центра как (-C/2A; -D/2B). В данном случае, А = 2, В = -3, С = 0, D = 0, E = -12. Подставляя значения, получаем:

x_центра = -0/4 = 0 y_центра = -0/(-6) = 0

Таким образом, координаты центра кривой второго порядка равны (0, 0).

Так как прямая проходит через центр кривой и точку A(2, 4), то точка A лежит на этой прямой. Подставляя координаты A в уравнение прямой, получаем:

y - y_центра = k(x - x_центра)

4 - 0 = k(2 - 0)

4 = 2k

k = 2

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через центр кривой и точку A(2, 4), имеет вид:

y = 2x

Ответ: Уравнение прямой, проходящей через центр кривой второго порядка и точку A(2, 4), имеет вид y = 2x.