Question

Помогите пж. xdy=ydx; y=6 при x=2 найдите частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

Answer 1

Ответ: y=3x; x>0

Пошаговое объяснение:

1. Разделим переменные

dy/y=dx/x

2. Проинтегрируем обе части

Sdy/y=Sdx/x => ln|y|=ln|x|+c

3. При y=6; x=2 имеем

ln6=ln2+c откуда

с=ln6-ln2=ln6/2=ln3

4. Решаем частное уравнение

ln|y|=ln|x|+ln3 откуда

ln|y|=ln|3x| или

y=3x; x>0

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения, мы можем использовать метод разделения переменных и интегрирования. Дано уравнение:

xdy = ydx

Для решения уравнения, давайте разделим обе части на xy:

(dy/dx) = y/x

Теперь давайте переместим все значения, связанные с y, на одну сторону уравнения, а значения, связанные с x, на другую сторону:

(dy/y) = (dx/x)

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫(dy/y) = ∫(dx/x)

ln|y| = ln|x| + C1, где С1 - постоянная интегрирования.

Теперь возьмем экспоненту от обеих сторон уравнения:

|y| = |x| * e^(C1)

Используем свойство модуля |ab| = |a| * |b|:

y = ± x * e^(C1)

Теперь учитывая начальное условие y=6 при x=2, найдем соответствующее значение постоянной C1.

Подставим x=2 и y=6 в уравнение:

6 = ± 2 * e^(C1)

Теперь решим уравнение относительно e^(C1):

e^(C1) = 6/2 e^(C1) = 3

Теперь найдем C1, взяв натуральный логарифм от обеих сторон:

C1 = ln(3)

Итак, уравнение примет вид:

y = ± x * e^(ln(3))

y = ± 3x

Таким образом, два частных решения уравнения, удовлетворяющих начальным условиям y=6 при x=2, будут:

1. y = 3x
2. y = -3x