Question

Помогите Дам много балов 35б Задача 1.В пространстве даны n точек общего положения(никакие три не лежат на одной прямой, никакие четыре не лежат в одной плоскости).Через каждые три из них проведена плоскость.Докажите, что какие бы n – 3 точки в пространстве ни взять,найдётся плоскость из проведённых, не содержащая ни одной из этих n – 3 точек.

Answer 1

Решение: 

Пусть X — произвольное множество из n – 3 точек.
Очевидно, что в нашем множестве M есть точка x, не принадлежащая множеству X.
Соединим ее прямыми с остальными точками множества M.
По условию все эти прямые различны, поэтому их ровно n – 1.
Поскольку в множестве X менее n – 1 точки, одна из проведенных прямых не пересекает X.
Через эту прямую и оставшиеся (n – 2) точки множества M проведём (n – 2) плоскости.
Так как этих плоскостей по-прежнему больше, чем точек во множестве X, одна из них не пересекает X.
Эта плоскость и является искомой.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции. Допустим, утверждение верно для n точек (n >= 4). Нам нужно доказать, что оно будет верно и для n + 1 точки.

Пусть у нас есть n + 1 точка в пространстве общего положения. Рассмотрим n точек из этих (любые n точек, исключая одну). По предположению индукции, через эти n точек можно провести плоскость, которая не содержит n - 3 из них. Обозначим эту плоскость как P.

Теперь рассмотрим последнюю (n + 1) точку. Так как все точки находятся в общем положении, то она не лежит в плоскости P, так как P проходит через n точек (включая эти три). Таким образом, мы нашли плоскость, проходящую через n + 1 точек, которая не содержит последнюю точку.

Таким образом, мы доказали, что если утверждение верно для n точек, то оно будет верно и для n + 1 точки. Начальный шаг индукции выполнен, так как для n = 4 утверждение верно, ибо любые три точки общего положения образуют плоскость, и никакая четвёртая точка не лежит в этой плоскости.

Следовательно, утверждение верно для всех n >= 4 точек, и это завершает доказательство.