Question

4х^2 + 4у^2 - 12х-4у +10 найменше значення виразу.

Answer 1

4x² + 4y² - 12x - 4y + 10 = (4x² - 12x) + (4y² - 4y) + 10 = 4(x² - 3x + 2.25) -

- 4 * 2.25 + 4(y² - y + 0.25) - 4 * 0.25 + 10 = 4(x-1.5)² + 4(y-0.5)²

Наименьшее значение будет при x=1.5; y=0.5, равное 0.

Answer 2

Для знаходження найменшого значення виразу 4x^2 + 4y^2 - 12x - 4y + 10, спробуємо скористатися методом завершення квадрату.

Спочатку розділимо вираз на 4, щоб спростити дальші обчислення:

(4x^2 + 4y^2 - 12x - 4y + 10)/4

Получимо:

x^2 + y^2 - 3x - y + 2.5

Тепер спробуємо завершити квадрат для змінної x:

x^2 - 3x = (x^2 - 3x + 9/4) - 9/4 = (x - 3/2)^2 - 9/4

Аналогічно завершимо квадрат для змінної y:

y^2 - y = (y^2 - y + 1/4) - 1/4 = (y - 1/2)^2 - 1/4

Тепер перепишемо наш вираз, підставляючи завершені квадрати:

x^2 + y^2 - 3x - y + 2.5 = (x - 3/2)^2 - 9/4 + (y - 1/2)^2 - 1/4 + 2.5

Тепер згрупуємо квадратні члени разом:

(x - 3/2)^2 + (y - 1/2)^2 - 9/4 - 1/4 + 2.5 = (x - 3/2)^2 + (y - 1/2)^2 + 2

Оскільки квадратні члени завжди не менше нуля, мінімальне значення виразу буде досягатися, коли вони дорівнюють нулю, тобто коли:

(x - 3/2)^2 = 0 => x - 3/2 = 0 => x = 3/2

(y - 1/2)^2 = 0 => y - 1/2 = 0 => y = 1/2

Таким чином, мінімальне значення виразу 4x^2 + 4y^2 - 12x - 4y + 10 дорівнює:

(3/2)^2 + (1/2)^2 + 2 = 9/4 + 1/4 + 2 = 9/4 + 1 + 2 = 9/4 + 9/4 = 18/4 = 4.5

Таким чином, найменше значення виразу 4x^2 + 4y^2 - 12x - 4y + 10 дорівнює 4.5, і досягається, коли x = 3/2 та y = 1/2.