Question

длина гипотенузы равнобедренного прямоугольника треугольника равна 40. окружность радиуса 9 касается гипотенузы в её середине. найти длину отрезка, отсекаемого этой окружностью на одном из катетов

Answer 1

Ответ:√82

Пошаговое объяснение:

Если поместить центр начала координат в середину гипотенузы и провести ось Y через вершину прямого угла, а ось X вдоль гипотенузы, то вершины треугольника будут иметь координаты (20,0) (-20,0) (0,20), а центр окружности радиуса 9 будет находиться в точке (0, 9). Уравнение стороны и уравнение окружности выглядят так.x+y=20; x^2+(y — 9) ^2=9^2; отсюда y — 9=11 — x; и для точек пересечения получается квадратное уравнение на их координаты x1 и x2; x^2+(11 — x) ^2=9^2; или x^2 — 11*x+20=0; x1=(11+√41) /2; x2=(11 — √41) /2; Расстояние между точками пересечения стороны и окружности, очевидно, равноd=(x1 — x2)*√2=√82;

Answer 2

Давайте обозначим равнобедренный прямоугольный треугольник как ABC, где AC - гипотенуза, BC и AB - катеты. Пусть O - центр окружности, касающейся гипотенузы AC в её середине.

Так как треугольник ABC прямоугольный, то можно применить теорему Пифагора: AB^2 + BC^2 = AC^2.

Из условия задачи, длина гипотенузы AC равна 40, значит, AC^2 = 40^2 = 1600.

Также, так как окружность касается гипотенузы в её середине, то BO и OC - радиусы окружности, и они равны 9.

Теперь нам нужно найти длину катета, который отсекается окружностью на гипотенузе. Обозначим эту длину как x.

Так как точка касания окружности с гипотенузой является серединой гипотенузы, то BO = OC = 9, и длина отрезка BC будет равна 2 * BO = 2 * 9 = 18.

Теперь можем записать уравнение на основе теоремы Пифагора:

AB^2 + BC^2 = AC^2, AB^2 + 18^2 = 1600, AB^2 + 324 = 1600, AB^2 = 1600 - 324, AB^2 = 1276.

Теперь найдем длину катета AB, которая отсекается окружностью. Просто возьмем квадратный корень из обоих сторон:

AB = √1276 ≈ 35.72.

Таким образом, длина отрезка, отсекаемого окружностью на одном из катетов, составляет около 35.72 единицы длины.