Question

Найти производные функций 1) y=ln^2(1+cosx) ; 2) y=(e^x+sinx)/x*e^x

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для нахождения производных данных функций, воспользуемся правилами дифференцирования элементарных функций и свойствами логарифмов.

1. y = ln^2(1 + cosx)

Для нахождения производной функции y по x, используем цепное правило (chain rule). По определению, производная натурального логарифма ln(u) равна (1/u) * u', где u' - производная функции u по x.

Получим: y' = 2 * ln(1 + cosx) * (1 / (1 + cosx)) * (cosx)' = 2 * ln(1 + cosx) * (1 / (1 + cosx)) * (-sinx) = -2sinx * ln(1 + cosx) / (1 + cosx)

2. y = (e^x + sinx) / (x * e^x)

Для нахождения производной функции y по x, воспользуемся правилом дифференцирования частного и производной композиции функций (e^x)' = e^x и (sinx)' = cosx.

Получим: y' = [(x * e^x)(e^x + sinx)' - (e^x + sinx)(x * e^x)'] / (x^2 * e^(2x)) = [(x * e^x)(e^x + cosx) - (e^x + sinx)(e^x)] / (x^2 * e^(2x)) = [x * e^(2x) + x * e^x * cosx - e^(2x) - e^x * sinx] / (x^2 * e^(2x)) = (x * e^x * cosx - e^x * sinx) / (x^2 * e^x) = (e^x * (x * cosx - sinx)) / (x^2 * e^x) = (x * cosx - sinx) / x^2

Таким образом, производная функции y по x равна (x * cosx - sinx) / x^2.